Esercizi di Ricapitolazione

Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche A.A. 1998–99

Dicembre 1998

1) Dire quali delle seguenti terne divettori di ℝ^{3} sono linearmente indipendenti e quali inceve linearmente dipendenti:

a) u_{1} = (1, 2, 3), u_{2} = (−1, 0, 1), u_{3} = (0, 2, 4);

b) u_{1} = (1, −3, 1), u_{2} = (0, 0, 1), u_{3} = (0, 2, 2);

c) u_{1} = (1, 1, 1), u_{2} = (0, 1, 0), u_{3} = (0, 0, 0);

d) u_{1} = (4, 1, 0), u_{2} = (8, 2, 0), u_{3} = (2, 1/2, 0).

2) Verificare che b_{1} = (1, 1, 0), b_{2} = (2, 0, 2), b_{3} = (0, 3, 0) è una base di ℝ^{3}. Scrivere il vettore (11, 2, 6) come combinazione lineare di b_{1}, b_{2}, b_{3}.

3) Date le seguenti applicazioni verificare se sono lineari e in caso affermativo trovare la matrice associata rispetto alle basi canoniche del dominio e codominio: f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{2} definita da: f(x, y, z) = (2x − y + z, x − y + 4z); f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} definita da: f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z); f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} definita da: f(x, y, z) = (x − 11y + z, x − y + 4z, x^{2}); f : ℝ^{2} ⟶ ℝ definita da: f(x, y) = 4x − y.

4) Data f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{2} definita da: f(x, y, z) = (x + y, x + z) e g : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{4} definita da: g(u, v) = (u − v, 2u + v, u, v), trovare g ∘ f, la matrice A_{f} associata ad f, A_{g} associata a g, la matrice C associata a g ∘f e verificare che vale A_{g}A_{f} = C (rispetto alle basi canoniche).

5) Data la matrice A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ), trovare l’applicazione lineare corrispondente.

6) Date le seguenti applicazioni lineari, trovare i loro autovettori e autovalori (rispetto alle basi canoniche): g : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} data da g(x, y, z) = (2x − 2z, −3x − y + 2z, 3z); h : ℝ^{4} ⟶ ℝ^{4} data da: h(x, y, z, t) = (3x + 6z, −2x − 4z, −x − 2z, 2x + 4y − 4z + 2t).

7) Calcolare gli autovalori e autovettori delle seguenti matrici:

A_{1} = ( \begin{matrix}−3 & −4 & −2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix} ) , A_{2} = ( \begin{matrix}2 & −16 \\ 2 & −10 \end{matrix} ) .

8) Dato il vettore u = (1, 2, −1, 4) ∈ ℝ^{4}, dire quali dei seguenti vettori di ℝ^{4} sono ortogonali ad u: u_{1} = (1, 2, −1, 0), u_{2} = (4, 0, 0, −1), u_{3} = (2, −1, 4, 1), u_{4} = (8, 6, 4, 2).

9) Sia f : ℝ^{3} ⟶ ℝ data da: f(x, y, z) = cos(x^{2}y^{3}z) + x^{4}y^{2} − 2z^{3}. Calcolare le seguenti derivate parziali:

\frac{∂f}{∂x} , \frac{∂f}{∂y} , \frac{∂f}{∂z} , \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} , \frac{∂^{2}f}{∂y∂z} .

10) Sia f : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da: f(x, y) = x^{4} ^{3} \sqrt{y^{2}}. Calcolare il gradiente e la matrice hessiana di f.

11) Delle seguenti funzioni f : ℝ^{2} ⟶ ℝ calcolare i punti critici e i massimi e minimi relativi: f(x, y) = x^{2} + y^{2} + xy; f(x, y) = 4x^{2}y − x + y; f(x, y) = 1 − e^{x^{2}+y^{2}}.