Esercizi riassuntivi Corso di Istituzioni di Matematiche

Scienze Geologiche - nuovo ordinamento

docente: prof. Alessandro Logar

March 20, 2002

1. Calcolare i seguenti integrali definiti:

∫_{0}^{2}(x^{2} + 1) dx; ∫_{1}^{2} \frac{x + 2}{x} dx; ∫_{0}^{π/2} sin(x) cos(x) dx; ∫_{−1}^{0} 6 ^{3} \sqrt{x} dx;

∫_{1}^{2} xe^{x} dx; ∫_{0}^{1} \frac{x}{e^{x}} dx; ∫_{π}^{2π} x cos(x) dx; ∫_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} dx.

2. Calcolare l’area della regione del piano delimitata dalla parabola di equazione y = 2 − 6x^{2} e dalla retta y = x.

3. Calcolare i seguenti integrali impropri:

∫_{1}^{∞} \frac{1}{2x^{2}} dx; ∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}} dx; ∫_{0}^{+∞} e^{−x} dx.

4. Risolvere le seguenti equazioni differenziali e verificare l’esattezza delle soluzioni trovate:

y′ = x(y^{2}+1); xy′ = y+x; y′ = 4xy; y′ = tan(x)y+1; y′ = 3y+x^{2}.

5. La criptonite decade in ragone del 10% annuo. Trovare il suo tempo di dimezzamento.

6. Si calcoli

∫_{0}^{8} (7 − \frac{x^{2}}{10} ) dx

con il metodo dei trapezi e il metodo di Simpson, suddividendo l’intervallo di integrazione in n = 8 parti uguali (aiutarsi con una calcolatrice tascabile).

7. Sia f : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da: f(x, y) = cos(x^{2}y^{3}) + x^{4}y^{2} − 2. Calcolare le seguenti derivate parziali:

\frac{∂f}{∂x} , \frac{∂f}{∂y} , \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} , \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} .

8. Sia f : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da: f(x, y) = x^{4} ^{3} \sqrt{y^{2}}. Calcolare il gradiente di f.

9. Delle seguenti funzioni f : ℝ^{2} ⟶ ℝ calcolare i punti critici e i massimi e minimi relativi: f(x, y) = x^{2} + y^{2} + xy; f(x, y) = 4x^{2}y − x + y.

10. Calcolare

∫∫_{D} x^{2}y dx dy

ove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}

11. Sia D il dominio di ℝ^{2} definito da: D = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2; x + 1 ≤ y ≤ 2x + 3 }. Calcolare il seguente integrale:

∫∫_{D} e^{x} \frac{4y}{x + 2} dx dy.

12. Calcolare i seguenti integrali doppi:

∫∫_{D}(3x + xy) dx dy, dove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2x + 1}

∫∫_{D} sin(x + y) dx dy, dove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}

13. Sia D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}. Calcolare:

∫∫_{D}(x^{2} + y^{2}) dx dy, ∫∫_{D}(x + 3y^{2}) dx dy, ∫∫_{D} \frac{x + y}{x + 1} dx dy.

14. Sia D il semi-disco di centro l’origine e raggio 1 disposto nel primo e secondo quadrante. Calcolare i seguenti integrali:

∫∫_{D}(x + y) dx dy, ∫∫_{D} x dx dy, ∫∫_{D}(y + 3) dx dy.

15. Dato il numero complesso z = 5 + 12 i si calcoli: il suo modulo, il suo complesso coniugato, il suo opposto e il suo inverso.

16. Rappresentare sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi:

2 + 4 i; 2 + 6 i; 4 + 10 i

e verificare che il terzo si ottiene dai primi due con la “regola del parallelogramma”.

17. Trovare il valore delle seguenti espressioni (ossia scriverle nella forma a + ib):

\frac{1 + i}{(2 − 3i)(i − 1)}; \frac{(i + 1)^{3}}{(i − 1)^{2}}

18. Calcolare e^{π/2+π i}.

19. Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi e rappresentarli sul piano di Gauss:

2, −2, 1 + i\sqrt{3}, 1 − i\sqrt{3}, −1 − i\sqrt{3}, −1 + i\sqrt{3}.

Si trova una qualche regolarità nel disegno? Perchè?

20. Provare che vale:

(cos(θ) + i sin(θ))^{n} = cos(nθ) + i sin(nθ)

(Suggerimento: cosa succede dell’identità: e^{iθ} = cos(θ) + i sin(θ) se si elevano entrambi i membri ad n?)

21. Siano z_{1}, z_{2} e z_{3} le tre soluzioni (in ℂ) dell’equazione x^{3} − 8 = 0. Verificare che una di esse è un numero reale e che le altre due sono complesse coniugate.

22. Trovare tutte le soluzioni (reali e complesse) della seguente equazione: (x^{4} − 1)(x^{3} − 1) = 0.

23. Risolvere le seguenti equazioni differenziali (omogenee):

y′′ − 4y′ + 5y = 0; y′′ − 9y = 0; y′′ + 6y′ + 9y = 0;
z′′(t) + 4z′(t) + 5z(t) = 0; y′′ + 9y = 0; y′′ − 2y′ + 10y = 0;

x′′(t)−x′(t)+x(t) = 0; x′′(t)−x′(t)+x(t) = 0; x′′(t)−2x′(t)+x(t) = 0;

24. Risolvere le seguenti equazioni differenziali (non omogenee):

y′′(u) − 3y′(u) + 2y(u) = u + 1; y′′ + 16y = cos(x); y′′ + 2y′ − 3y = e^{2x};

x′′(t) + 6x′(t) + 9x(t) = t^{2}; z′′(u) − 4z(u) = sin(u) + cos(u).

25. Dire quali dei seguenti insiemi sono aperti e nei casi che non lo sono individuare i punti interni:

(a) {(x, y) ∈ ℝ^{2}|y ≠ 0}

(b) {(x, y) ∈ ℝ^{2}|x < 0}

(c) {(x, y) ∈ ℝ^{2}|x^{2} + y^{2} ≤ 1}

(d) {(x, y) ∈ ℝ^{2}|x^{2} + y^{2} < 2}

(e) {(x, y) ∈ ℝ^{2}|(x − 1)^{2} + (y − 3)^{2} < 1}

Questi ultimi due insiemi sono dei sottoinsiemi particolari del piano che abbiamo incontrato, quali?

26. Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni:

(a) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = 2x − 3y + 5

(b) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = x^{2} − 3xy + 5y^{2} + 5

(c) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = (2x − 3y)^{2} + 5

(d) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = cos(xy)

(e) f : {(x, y) ∈ ℝ^{2}|y > 0} → ℝ f(x, y) = xy^{3} − log(y^{3})

(f) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

(g) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = (sin x)^{2}

(h) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = arctg\frac{x}{1 + y^{2}}

(i) f : \{(x, y) ∈ ℝ^{2}|x + y > 0\} → ℝ f(x, y) = \sqrt{x + y}

(j) f : \{(x, y) ∈ ℝ^{2}|xy ≠ 0\} → ℝ f(x, y) = ^{5} \sqrt{x^{2}y}

27. Sia

f : ℝ^{2} → ℝ data da f(x, y) = log(x^{2} + y^{2} + 1);

calcolare

(a) il gradiente di f nel punto (0, 0)

(b) il gradiente di f nel punto (1, 2)

(c) il piano π che è tangente a f nel punto (0, 0)

(d) il piano π′ che è tangente a f nel punto (1, 2)

(e) un versore u ortogonale a π

(f) un versore u′ ortogonale a π′

(g) l’angolo formato dal vettore (0, 1, 0) con u

(h) il coseno dell’angolo formato dal vettore (0, 1, 0) con u′

(i) si calcoli la derivata direzionale di f in (0, 0) lungo le seguenti direzioni (0, 1) (−1, 0) (\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2) e (\sqrt{3}/2, 1/2)

(j) si calcoli la derivata direzionale di f in (1, 2) lungo le seguenti di-

rezioni (0, 1) (−1, 0) (\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2) e (\sqrt{3}/2, 1/2)

28. Sia g : ℝ → ℝ^{2} g(t) = (2 cos t, sin t) una curva differenziabile e

f : ℝ^{2} → ℝ, f(x, y) = \frac{x^{2}}{4} + y^{2}

(a) Calcolare il vettore velocità di g.

(b) Verificare che g parametrizza la curva di livello 1 di g.

(c) Verificare che il vettore velocità di g per t = 0 e ortogonale al gradiente di f in (2, 0).

29. Calcolare i massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni:

(a) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = 3x^{2} + 2y^{3} − 6xy

(b) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = 2xy − 5x^{2} − 2y^{2} + 4x + 4y − 4

(c) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = xy + x^{2} + y^{2} + 3x − 3y + 4

(d) f : ℝ^{2} → ℝ f(x, y) = xy + x^{2} + 3x + 2y + 5

30. Calcolare la retta di regressione relativa ai punti (−1, 2) (0, 1) e (3, −1).

31. Le poste americane accettano solo pacchi a forma di parallelepipedo con altezza x, larghezza y e profondità z tali che 2x + y + 2z = 12 cm. Quali saranno le dimensioni tali che la capienza (il volume) del pacco sia massimo?