\documentclass{article}
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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{Universit\`a di Trieste}\\
\textbf{Corso di Studi in Matematica}\\
Laurea Magistrale\\
\bigskip
{\large \textbf{Algebra Computazionale}}\\
\bigskip
\textbf{a.\ a.\ 2012--13}\\
\medskip
\textbf{docente: prof.\ Alessandro Logar}
\end{center}

\textbf{Ideali, moduli, term order} --- 
Moduli su un anello (commutativo
unitario). Somma diretta di moduli, somma diretta interna ed esterna, 
moduli liberi. Sequenze esatte e sequenze esatte corte. 
Anelli e moduli noetheriani e loro principali propriet\`a.
Teorema della base di Hilbert. Anello $P$ dei
polinomi in $n$ indeterminate su un campo. Definizione di termini di $P$ 
(indicati con $\mathbb{T}$) e 
di $P^r$ (indicati con $\mathbb{T}\langle e_1, \dots, e_r \rangle$).
Ideali e moduli monomiali. Teorema
di struttura dei moduli monomiali. Ordinamenti sui termini di $P$
(esempi: \texttt{Lex, DegLex, DegRevLex}) e sui termini di $P^r$
(esempi: \texttt{ToPos, PosTo}). Equivalenza di un term order con un
buon ordinamento. Definizione di $LT_{\sigma}, \ LM_{\sigma},\ LC_{\sigma}$. 
Teorema della base di Macaulay. Algoritmo di divisione. Quozienti e resto
(o ridotto). 
\smallskip

\textbf{Anelli graduati} --- Anelli graduati (su un monoide), gradazioni
su $P$ (date da $\mathbb{Z}$ e da $\mathbb{N}^n$). Monomodulo.
Moduli graduati. Esempi di graduazioni su moduli, graduazione data
da uno shift. Omomorfismo di moduli graduati. Sottomoduli graduati di moduli
graduati. Quoziente di moduli graduati. Condizioni necessarie e sufficienti
per un modulo affinch\'e sia sottomodulo graduato.
\smallskip

\textbf{Basi di Gr\"obner, I} --- Definizione di $\sigma$-base di Gr\"obner per
un modulo $M \subseteq \mathbb{P}^r$ e prime propriet\`a e caratterizzazioni.
\smallskip

\textbf{Sizigie} Definizione delle sizigie di una famiglia finita $G$
di elementi di un $P$-modulo. La sequenza estatta 
\[
0 \longrightarrow \mathrm{Siz}(G) \longrightarrow P^s \longrightarrow 
P^r \longrightarrow P^r/M \longrightarrow 0
\]
(dove $G=(g_1, \dots, g_s)$,
con $g_i\in P^r$ e $M$ \`e il modulo generato da $G$). 
Gradazione indotta su $P^s$ data da $\mathrm{LT}(G)$ in modo che 
l'omomorfismo $\Phi : P^r \longrightarrow P^s$ definito da 
$\Phi(h_1, \dots, h_s) 
= \sum h_i \mathrm{LM}_{\sigma} (g_i)$ sia un omomorfismo di moduli 
$\mathbb{T}\langle e_1, \dots, e_r \rangle$-graduati. Definizione di 
$\sigma$-grado e $\sigma$-forma direttiva (indicati con, rispettivamente:
$\mathrm{deg}_{\sigma, \mathcal{G}}$ e $\mathrm{LF}_{\sigma, \mathcal{G}}$, con $\sigma$
un term order fissato). Calcolo delle sizigie di moduli monomiali. 
\smallskip

\textbf{Basi di Gr\"obner, II} ---
Sollevamento delle sizigie. Caratterizzazione delle basi di Gr\"obner con
il sollevamento delle sizigie. Elemento ridotto rispetto ad una base di 
Gr\"obner. Unicit\`a del ridotto. Forma normale di un elemento di $P^r$
rispetto ad una base di Gr\"obner. Definizione di $S$-vettore, 
teorema di Buchbergher e algoritmo per il calcolo delle basi di Gr\"obner. 
Basi di Gr\"obner minimali e ridotte. Calcolo esplicito delle sizigie 
con le basi di Groebner e teorema di Schreyer;
sizigie di una base di Groebner e di un sistema di generatori di un modulo. 
Algebra lineare nell'anello dei polinomi. Presentazione
di un modulo. Teorema delle sizigie di Hilbert (dimostrazione di Schreyer).
\smallskip

\textbf{Propriet\`a dei moduli graduati} --- 
Gradazione su $P$ data da un vettore $W$ di pesi per le variabili di $P$. 
Sistemi di generatori minimali di un $P$-modulo graduato.  Lemma di Nakayama,
versione omogenea. Invarianza della cardinalit\`a di un sistema minimale
di generatori di un $P$-modulo finitamente generato. Basi di Gr\"obner 
omogenee. Teorema delle sizigie di Hilbert nel caso omogeneo, 
risoluzione libera minimale di un modulo graduato, unicit\`a 
della risoluzione (senza dimostrazione), invarianti
di un modulo associati alle risoluzioni graduate minimali, numeri di Betti.
\smallskip

\textbf{Funzione e serie di Hilbert di un modulo graduato} ---
Definizione e alcune propriet\`a della funzione di Hilbert, calcolo della
funzione di Hilbert (per mezzo del teorema di Macaulay). La funzione di 
Hilbert \`e di tipo polinomiale. Esempi. Serie formali, l'anello dei 
polinomi di Laurent, serie di Hilbert di un $P$-modulo
finitamente generato e graduato. 
\smallskip

\textbf{Polinomi invarianti}  ---
I polinomi simmetrici, polinomi simmetrici elementari. Azione di 
$GL(n, \mathbb C)$ sull'anello dei polinomi. Studio dell'azione di sottogruppi
finiti $\Gamma$ di $GL(n, \mathbb C)$ su $P$. Operatore di Reynolds, teorema di 
finitezza di Hilbert, teorema di Molien per il calcolo della serie di Hilbert
dell'anello degli invarianti di $P^{\Gamma}$. Un algoritmo per il calcolo
degli invarianti fondamentali di $P^{\Gamma}$. 

\bigskip
\textbf{Testi principalmente seguiti}
\begin{enumerate}
\item Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano. \textsl{Computational Commutative 
algebra~1} Springer-Verlag.
\item Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano. \textsl{Computational Commutative 
algebra~2}, Springer-Verlag.
\item David Eisenbud. \textsl{Commutative Algebra vith a view toward Algebraic 
Geometry} Springer-Verlag.
\item Bernd Sturmfels. \textsl{Computational invariant theory}, 
Springer-Verlag.
\item M.F.\ Atiyah, I.G.\ Macdonald, \textsl{Un'introduzione all'algebra
commutativa}, Feltrinelli.
\end{enumerate}

\end{document}
