\documentclass{article}

\usepackage{amssymb}

\begin{document}
Dalla teoria sappiamo che se $g_1, \dots, g_s$ \`e una $\sigma$-base 
di Gr\"obner, allora ogni elemento $v \in  P^s$ omogeneo, tale che 
$v \in \mathrm{Siz}(\mathrm{LM}_{\sigma}(\cal{G}))$ si pu\`o sollevare ad 
un elemento $w \in P^s$ tale che
$w \in \mathrm{Siz}(\cal{G})$. Qui si fornisce un esempio di questo risultato.

Sia $P = \mathbb{Q}[x, y, z]$ e definiamo su 
$P^2$ il term order \texttt{PosLex}. 
Consideriamo il sotto-modulo $M$ di $P^2$ generato da: 
\begin{eqnarray*}
h_1 & = & (x^2y+z, \ xy+xz) \\
h_2 &  = & (zy, \ x^2) \\ 
h_3 & = & (y^2,\ z^2-z);
\end{eqnarray*}

La base di Gr\"obner del modulo $M$ \`e data da:
\begin{eqnarray*}
g_1 & = & (y^2, z^2 - z), \quad g_2 \ = \ (yz, x^2), \quad
g_3 \ = \ (x^2y + z, xy + xz), \\
g_4 & = & (0, -x^2y + z^3 - z^2), \quad g_5 \ = \ (-z^2, x^4 - xyz - xz^2), \\
g_6 & = & (0, x^2z^2 - x^2z + x^2 - xy^2 - xyz), \\
g_7 & = & (0, xy^3 + xy^2z - z^5 + 2z^4 - 2z^3 + z^2), \\
g_8 & = & (0, xz^5 - 2xz^4 + 2xz^3 - xz^2 - y^2z^3 + y^2z^2 - yz^4 + yz^3), \\
g_9 & = & (0, y^5z^3 - y^5z^2 + 2y^4z^4 - 2y^4z^3 + y^3z^5 - y^3z^4 - z^{10} 
     + 4z^9 - 8z^8 + \\
  & & \quad 10z^7 - 8z^6 + 4z^5 - z^4)
\end{eqnarray*}

Detta $G$ la base di Gr\"obner $g_1, \dots, g_9$, vale $M = \langle 
g_1, g_2, \dots, g_s \rangle$ e si ha: 
\[
\mathrm{LM}_\sigma(M) = \langle y^2 e_1, yz e_1, x^2ye_1, -x^2ye_2, -z^2e_1, 
  x^2y^2e_2, xy^3e_2, xz^5 e_2, y^5z^3 e_2\rangle
\]

Consideriamo l'elemento $v \in P^9$ dato da: 
\[
v = (2x^3z^2, -x^3yz, -xyz^2, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \in P^9
\]
Esso \`e un elemento omogeneo nella gradazione di $P^9$ data da 
$\mathbb{T}\langle e_1, e_2 \rangle$. Infatti 
\[
x^3z^2\mathrm{LT}(g_1) = x^3yz\mathrm{LT}(g_2)=xyz^2\mathrm{LT}(g_3) = 
x^3y^2z^2e_1
\]
quindi $v \in (P^9)_{x^3y^2z^2e_1}$. Inoltre $\Phi(v) = 0$, 
cio\`e $v \in \mathrm{Siz}(\mathrm{LM}(\cal{G}))$. Dalla teoria sappiamo 
che, se $G$ \`e una base di Gr\"obner, allora deve esistere 
un sollevamento $w \in P^9$, cio\`e deve esistere un elemento $w \in P^9$
tale che $\phi(w) = 0$ e $\mathrm{LF}_{\sigma, \cal{G}} = v$. 

Calcoliamo 
\[
m = \phi(v) = (-xyz^3, -x^5yz + 2x^3z^4 - 2x^3z^3 - x^2y^2z^2 - x^2yz^3)
\]
Allora $m \in \langle g_1, \dots, g_9\rangle$ e, possiamo calcolare dei 
polinomi $f_1, \dots, f_9 \in P$ tali che $m = \sum f_ig_i$.  
Precisamente:
$m = -xz^2 g_2 + x^3zg_4  + xz^2g_6 $.
Detto $w_1 =(0, -xz^2, 0, x^3z, 0, xz^2, 0, 0, 0) \in P^9$, 
abbiamo che $m = \phi(w_1)$, quindi $\phi(v) = \phi(w_1)$, cio\`e 
$\phi(v-w_1) = 0$, pertanto  $w = v-w_1 \in \ker(\phi)$. Vale:
\[
w = (2x^3z^2, -x^3yz + xz^2, -xyz^2, -x^3z, 0, -xz^2, 0, 0, 0)
\]
e $w \in \mathrm{Siz}(\mathcal(G))$ e $\mathrm{LF}_{\sigma, \cal{G}}(w) = v$.

\end{document}
