\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{amssymb}


\newcommand{\LT}{\mathrm{LT}_{\sigma}}
\newcommand{\LTU}{\mathrm{LT}_{\delta}}
\newcommand{\vv}{\varepsilon}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{Esempio relativo alla dimostrazione del\\ 
teorema delle sizigie di Hilbert}
\end{center}

Sia $P={\mathbb Q}[x, y, z]$, e sia $N= P/I$, dove $I$ \`e l'ideale generato
da:
\[
x^3y-1, \quad xy^3-z
\]
$N$ \`e un $P$-modulo finitamente generato (il suo generatore \`e $n_1=[1]$).
Pertanto abbiamo la mappa $\phi_0 : P \longrightarrow N$
data da $\phi_0(f) = [f\cdot 1]$ e quindi la seguente sequenza esatta
corta:
\[
0 \longrightarrow \ker(\phi_0) \longrightarrow P 
\longrightarrow N \longrightarrow 0
\]
dove $\ker(\phi_0) = I$. 
La base di Gr\"obner ridotta rispetto all'ordinamento
$\sigma$ dato da \texttt{DegRevLex} di $\ker(\phi_0)$ \`e la seguente:
\[
xy^3 - z, \quad x^3y - 1, \quad x^2z - y^2, \quad y^5 - xz^2
\]
Seguendo la dimostrazione del teorema delle sizigie di Hilbert, 
ordiniamo questi elementi in modo che i $\LT$ siano in ordine crescente
rispetto al term order \texttt{PosLex} di $P ={\mathbb Q}[x, y, z]$, 
quindi la precedente $\sigma$-base di Gr\"obner viene riscritta cos\`\i: 
\[
 g_1= x^3y - 1, \quad g_2=x^2z - y^2, \quad g_3=xy^3 - z, 
 \quad g_4=y^5 - xz^2
\]
Sia ${\cal G} = (g_1, \dots, g_4)$ e sia $\delta$ 
il t.o.\ di $P^4$ indotto da $(\sigma, {\cal G})$ (pertanto
$t_1 \vv_h < t_2 \vv_k$ se e solo se $\LT(t_1g_h) 
<_\sigma \LT(t_2g_k)$
o, se $\LT(t_1g_h) = \LT(t_2g_k)$, allora $h > k$).
Costruiamo la $\delta$-base di Gr\"obner di $\mathrm{Siz}({\cal G})$
(solite notazioni). Si ottiene: 
\begin{eqnarray*}
h_3 \ = \ \tau_{12} & = & (z, -xy, -1, 0), \\
h_2 \ = \ \tau_{13} & = & (y^2, -1, -x^2, 0), \\ 
h_1 \ = \ \tau_{14} & = & (y^4, -x^2z-y^2, 0, -x^3), \\
h_5 \ = \ \tau_{23} & = & (0, y^3, -xz, 1), \\
h_4 \ = \ \tau_{24} & = & (0, -xz^2+y^5, 0, -x^2z+y^2), \\
h_6 \ = \ \tau_{34} & = & (0, -z, y^2, -x).
\end{eqnarray*}
I termini direttivi rispetto al term order $\delta$ indotto da 
$(\sigma, {\cal G})$ dei vettori scritti sopra sono: 
\begin{eqnarray*}
\LTU(h_1) & = & y^4 \vv_1;\\
\LTU(h_2) & = & y^2 \vv_1;\\
\LTU(h_3) & = & z\vv_1; \\
\LTU(h_4) & = & y^5\vv_2; \\
\LTU(h_5) & = & y^3\vv_2; \\
\LTU(h_6) & = & y^2\vv_3.
\end{eqnarray*}
(si noti che i nomi $h_1, \dots, h_6$ sono stati dati in modo 
da avere i $\LTU(h_1),$ $\dots,$ $\LTU(h_6)$ ordinati nell'ordinamento
\texttt{PosLex} di $P^4$). Si noti ancora che, come previsto dalla
dimostrazione data nel corso del teorema delle sizigie di Hilbert, 
i termini direttivi degli $h_i$ sono costituiti da monomi nelle 
sole variabili $y$ e $z$. 

Fino a questo momento abbiamo quindi costruito la seguente 
sequenza esatta: 

\[
0 \longrightarrow \ker(\phi_1) \longrightarrow P^4 
\stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} P \stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} N
\longrightarrow 0
\]
In particolare abbiamo costruito una presentazione del modulo $N$ data
da: \\
$P^4 
\stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} P \stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} N
\longrightarrow 0$.\\
Il modulo $\ker(\phi_1)$ \`e generato da $6$ elementi, quindi 
consideriamo:
\[
P^6 \stackrel{\phi_2}{\longrightarrow} \ker(\phi_1) \longrightarrow 0
\]
Abbiamo che $h_1, \dots, h_6$ \`e una base di Gr\"obner per il modulo 
$\ker(\phi_1)$ e da essa quindi possiamo ottenere una base di 
Gr\"obner per $\ker(\phi_2)$. 
L'insieme delle coppie degli $h_i$ per cui si deve calcolare l'$S$-vettore 
\`e il seguente:
\[
\mathbb B = \{(1, 2),\ (1, 3), \ (2, 3), \ (4, 5)  \}
\]
Le sizigie che si ottengono sono le seguenti sestuple: 
\[
\begin{array}{rclrl}
m_2 & = & (1,-y^2, 0, 0, 0, -x^2) & \mbox{nasce da } & h_1 - y^2h_2; \\
m_1 & = & (z, 0, -y^4, -x, 0, -y^2) & \mbox{nasce da } & zh_1 - y^4h_3; \\
m_3 & = & (0, z, -y^2, 0, -x, -1) & \mbox{nasce da } & zh_2 - y^2h_3; \\
m_4 & = & (0, 0, 0, 1, -y^2, -xz) & \mbox{nasce da } & h_4 - y^2h_5.
\end{array}
\]
Anche qui gli $m$ sono ordinati in modo da avere i termini direttivi
ordinati nell'ordinamento \texttt{PosLex} di $P^6$.
I termini direttivi per l'opportuno ordinamento indotto sono:
\begin{eqnarray*}
\mathrm{LT}(m_1) & = & (z, 0, 0, 0, 0, 0); \\
\mathrm{LT}(m_2) & = & (1, 0, 0, 0, 0, 0); \\
\mathrm{LT}(m_3) & = & (0, z, 0, 0, 0, 0); \\
\mathrm{LT}(m_4) & = & (0, 0, 0, 1, 0, 0). 
\end{eqnarray*}
Come si vede, e come ci si deve aspettare, i termini direttivi sono 
fatti con termini che sono solo nella variabile $z$ (o costanti). 

I vettori $m_1, \dots, m_4$ sono una base di Gr\"obner (per un 
opportuno term order su $P^6$ indotto dal term order precedente)
del modulo $\ker(\phi_2)$. Quindi abbiamo costruito la seguente
sequenza esatta:
\[
0 \longrightarrow \ker(\phi_2) \longrightarrow 
   P^6 \stackrel{\phi_2}{\longrightarrow} P^4 
   \stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} P \stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} N
\longrightarrow 0 
\]
Il modulo $\ker(\phi_2)$ \`e generato da 4 elementi, quindi 
consideriamo: 
\[
P^4 \stackrel{\phi_3}{\longrightarrow} \ker(\phi_2) \longrightarrow 0
\]
e cerchiamo il $\ker(\phi_3)$. \\
Dalla base di Gr\"obner $m_1, \dots, m_4$ di $\ker(\phi_2)$ possiamo
ottenere una base di Gr\"obner di $\ker(\phi_3)$. Vale:
\[
{\mathbb B} = \{(1, 2) \}
\]
La sizigia che si ottiene \`e la seguente:
\[
\begin{array}{ccccc}
p & = & (-1, z, y^2, -x) & \mbox{nasce da } & zm_2 - m_1
\end{array}
\]
Vale:
\[
\mathrm{LT}(p) = (1, 0, 0, 0)
\]
e, come si vede, \`e un elemento di ${\mathbb Q}^4$ (quindi non contiene
variabili).
Come previsto dalla dimostrazione del teorema delle sizigie di Hilbert, 
sappiamo allora che $\ker(\phi_2)$ \`e un modulo libero e la sizigia $p$
di $m_1, \dots, m_4$ d\`a la relazione:
\[
(-1) \cdot m_1 + (z) \cdot m_2 + (y^2) \cdot m_3 + (-x) \cdot m_4 = 0
\]
da cui si ricava che $m_1$ \`e combinazione lineare di $m_2, m_3$ e $m_4$ e 
tra $m_2, m_3$ e $m_4$ non ci sono relazioni (se ve ne fossero, dovrebbero
comparire tra le sizigie). Quindi $m_2, m_3, m_4$ \`e una base di 
$\ker(\phi_2)$ e allora possiamo definire la mappa $\phi_3 : 
P^3 \longrightarrow P^6$ data da $\phi_3(f_1, f_2, f_3) = 
f_1m_2+f_2m_3+f_3m_4$ la cui immagine \`e $\ker(\phi_2)$ e quindi otteniamo
la seguente sequanza esatta (risoluzione libera di $N$):
\[
0 \longrightarrow P^3 \stackrel{\phi_3}{\longrightarrow} 
   P^6 \stackrel{\phi_2}{\longrightarrow} P^4 
   \stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} P \stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} N
\longrightarrow 0 
\]
Si noti che la lunghezza di questa risoluzione libera di $N$ \`e $3$, 
cos\`i come $3$ \`e il numero di variabili dell'anello $P$.
\end{document}

