Esempio relativo alla dimostrazione del teorema delle sizigie di Hilbert

Sia P = ℚ[x, y, z], e sia N = P/I, dove I è l’ideale generato da:

x^{3}y − 1, xy^{3} − z

N è un P -modulo finitamente generato (il suo generatore è n_{1} = [1]). Pertanto abbiamo la mappa ϕ_{0} : P ⟶ N data da ϕ_{0}(f) = [f · 1] e quindi la seguente sequenza esatta corta:

0 ⟶ ker(ϕ_{0}) ⟶ P ⟶ N ⟶ 0

dove ker(ϕ_{0}) = I. La base di Gröbner ridotta rispetto all’ordinamento σ dato da DegRevLex di ker(ϕ_{0}) è la seguente:

xy^{3} − z, x^{3}y − 1, x^{2}z − y^{2}, y^{5} − xz^{2}

Seguendo la dimostrazione del teorema delle sizigie di Hilbert, ordiniamo questi elementi in modo che i LT_{σ} siano in ordine crescente rispetto al term order PosLex di P = ℚ[x, y, z], quindi la precedente σ-base di Gröbner viene riscritta così:

g_{1} = x^{3}y − 1, g_{2} = x^{2}z − y^{2}, g_{3} = xy^{3} − z, g_{4} = y^{5} − xz^{2}

Sia G = (g_{1}, …, g_{4}) e sia δ il t.o. di P^{4} indotto da (σ, G) (pertanto t_{1}ε_{h} < t_{2}ε_{k} se e solo se LT_{σ}(t_{1}g_{h}) <_{σ} LT_{σ}(t_{2}g_{k}) o, se LT_{σ}(t_{1}g_{h}) = LT_{σ}(t_{2}g_{k}), allora h > k). Costruiamo la δ-base di Gröbner di Siz(G) (solite notazioni). Si ottiene:

h_{3} = τ_{12} = (z, −xy, −1, 0),
h_{2} = τ_{13} = (y^{2}, −1, −x^{2}, 0),
h_{1} = τ_{14} = (y^{4}, −x^{2}z − y^{2}, 0, −x^{3}),
h_{5} = τ_{23} = (0, y^{3}, −xz, 1),
h_{4} = τ_{24} = (0, −xz^{2} + y^{5}, 0, −x^{2}z + y^{2}),
h_{6} = τ_{34} = (0, −z, y^{2}, −x).

I termini direttivi rispetto al term order δ indotto da (σ, G) dei vettori scritti sopra sono:

LT_{δ}(h_{1}) = y^{4}ε_{1};
LT_{δ}(h_{2}) = y^{2}ε_{1};
LT_{δ}(h_{3}) = zε_{1};
LT_{δ}(h_{4}) = y^{5}ε_{2};
LT_{δ}(h_{5}) = y^{3}ε_{2};
LT_{δ}(h_{6}) = y^{2}ε_{3}.

(si noti che i nomi h_{1}, …, h_{6} sono stati dati in modo da avere i LT_{δ}(h_{1}), …, LT_{δ}(h_{6}) ordinati nell’ordinamento PosLex di P^{4}). Si noti ancora che, come previsto dalla dimostrazione data nel corso del teorema delle sizigie di Hilbert, i termini direttivi degli h_{i} sono costituiti da monomi nelle sole variabili y e z.

Fino a questo momento abbiamo quindi costruito la seguente sequenza esatta:

0 ⟶ ker(ϕ_{1}) ⟶ P^{4} ⟶^{ϕ_{1}} P ⟶^{ϕ_{0}} N ⟶ 0

In particolare abbiamo costruito una presentazione del modulo N data da:

P^{4} ⟶^{ϕ_{1}} P ⟶^{ϕ_{0}} N ⟶ 0.

Il modulo ker(ϕ_{1}) è generato da 6 elementi, quindi consideriamo:

P^{6} ⟶^{ϕ_{2}} ker(ϕ_{1}) ⟶ 0

Abbiamo che h_{1}, …, h_{6} è una base di Gröbner per il modulo ker(ϕ_{1}) e da essa quindi possiamo ottenere una base di Gröbner per ker(ϕ_{2}). L’insieme delle coppie degli h_{i} per cui si deve calcolare l’S-vettore è il seguente:

𝔹 = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (4, 5)}

Le sizigie che si ottengono sono le seguenti sestuple:

m_{2} = (1, −y^{2}, 0, 0, 0, −x^{2}) nasce da h_{1} − y^{2}h_{2};
m_{1} = (z, 0, −y^{4}, −x, 0, −y^{2}) nasce da zh_{1} − y^{4}h_{3};
m_{3} = (0, z, −y^{2}, 0, −x, −1) nasce da zh_{2} − y^{2}h_{3};
m_{4} = (0, 0, 0, 1, −y^{2}, −xz) nasce da h_{4} − y^{2}h_{5}.

Anche qui gli m sono ordinati in modo da avere i termini direttivi ordinati nell’ordinamento PosLex di P^{6}. I termini direttivi per l’opportuno ordinamento indotto sono:

LT(m_{1}) = (z, 0, 0, 0, 0, 0);
LT(m_{2}) = (1, 0, 0, 0, 0, 0);
LT(m_{3}) = (0, z, 0, 0, 0, 0);
LT(m_{4}) = (0, 0, 0, 1, 0, 0).

Come si vede, e come ci si deve aspettare, i termini direttivi sono fatti con termini che sono solo nella variabile z (o costanti).

I vettori m_{1}, …, m_{4} sono una base di Gröbner (per un opportuno term order su P^{6} indotto dal term order precedente) del modulo ker(ϕ_{2}). Quindi abbiamo costruito la seguente sequenza esatta:

0 ⟶ ker(ϕ_{2}) ⟶ P^{6} ⟶^{ϕ_{2}} P^{4} ⟶^{ϕ_{1}} P ⟶^{ϕ_{0}} N ⟶ 0

Il modulo ker(ϕ_{2}) è generato da 4 elementi, quindi consideriamo:

P^{4} ⟶^{ϕ_{3}} ker(ϕ_{2}) ⟶ 0

e cerchiamo il ker(ϕ_{3}). Dalla base di Gröbner m_{1}, …, m_{4} di ker(ϕ_{2}) possiamo ottenere una base di Gröbner di ker(ϕ_{3}). Vale:

𝔹 = {(1, 2)}

La sizigia che si ottiene è la seguente:

p = (−1, z, y^{2}, −x) nasce da zm_{2} − m_{1}

Vale:

LT(p) = (1, 0, 0, 0)

e, come si vede, è un elemento di ℚ^{4} (quindi non contiene variabili). Come previsto dalla dimostrazione del teorema delle sizigie di Hilbert, sappiamo allora che ker(ϕ_{2}) è un modulo libero e la sizigia p di m_{1}, …, m_{4} dà la relazione:

(−1) · m_{1} + (z) · m_{2} + (y^{2}) · m_{3} + (−x) · m_{4} = 0

da cui si ricava che m_{1} è combinazione lineare di m_{2}, m_{3} e m_{4} e tra m_{2}, m_{3} e m_{4} non ci sono relazioni (se ve ne fossero, dovrebbero comparire tra le sizigie). Quindi m_{2}, m_{3}, m_{4} è una base di ker(ϕ_{2}) e allora possiamo definire la mappa ϕ_{3} : P^{3} ⟶ P^{6} data da ϕ_{3}(f_{1}, f_{2}, f_{3}) = f_{1}m_{2} + f_{2}m_{3} + f_{3}m_{4} la cui immagine è ker(ϕ_{2}) e quindi otteniamo la seguente sequanza esatta (risoluzione libera di N):

0 ⟶ P^{3} ⟶^{ϕ_{3}} P^{6} ⟶^{ϕ_{2}} P^{4} ⟶^{ϕ_{1}} P ⟶^{ϕ_{0}} N ⟶ 0

Si noti che la lunghezza di questa risoluzione libera di N è 3, così come 3 è il numero di variabili dell’anello P.