\documentclass{article}
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\usepackage[italian]{babel}
\pagestyle{empty}

%%%% ENVIRONMENTS
\newtheorem{theorem}{Teorema}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposizione}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollario}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algoritmo}


\newcommand{\LM}{\mathrm{LM}_{\sigma}}
\newcommand{\LT}{\mathrm{LT}_{\sigma}}
\newcommand{\LMU}{\mathrm{LM}_{\tau}}
\newcommand{\LTU}{\mathrm{LT}_{\tau}}
\newcommand{\LF}{\mathrm{LF}_{\sigma, {\cal G}}}
\newcommand{\grd}{\mathrm{deg}_{\sigma, {\cal G}}}
\newcommand{\vv}{\varepsilon}
\begin{document}
\begin{center}
\textbf{Esempi}
\end{center}


Sia $P = \mathbb{Q}[x, y]$, fissiamo il term order $\sigma$
su $P^2$ dato da \texttt{PosLex}. Consideriamo i seguenti 
3 elementi di $P^2$:
\[
g_1 =(3xy^2, x^2+1), \quad g_2=(2xy^2-1, xy-1), \quad g_3=(4x^2y, y^2)
\]
che generano un modulo $M \subseteq P^2$. Calcolare:

\textbf{1.}
$\LM(\mathcal{G})=(\LM(g_1), \LM(g_2), \LM(g_3))$

Ricordando che la mappa $\Phi$, data da: 
\[
\Phi : P^3 \longrightarrow P^2, \qquad \Phi(\vv_1)=\LM(g_1), \ 
\Phi(\vv_2) = \LM(g_2),\  \Phi(\vv_3) = \LM(g_3)
\]
definisce una struttura di $P$-modulo $T\langle e_1, e_2 \rangle$-graduato
su $P^3$, 

\textbf{2.} Calcolare: 
\[
(P^3)_{x^3ye_1}, \quad (P^3)_{xy^4e_1}, \quad (P^3)_{x^4y^2e_1}
\]

\textbf{3.} Pi\`u in generale, scrivere quanto pu\`o valere 
$\left(P^3 \right)_{te_i}$ al variare di $te_i \in T\langle e_1, e_2 \rangle$.

\textbf{4.} Calcolare il sistema di generatori di $\ker(\Phi)$ dato dai 
$\sigma_{ij}$.

\textbf{5.} Sia
\[
m = \left(-3/2x^3+2x^2y^4 \right)\vv_2+ 
\left(3/4x^2y-xy^5  \right)\vv_3.
\]
Calcolare le componenti omogenee di $m$ nella 
$T\langle e_1, e_2 \rangle$-gradazione di $P^3$ definita sopra. 
Quanto vale $\grd(m)$?
Quanto vale $\mathrm{LF}_{\sigma, \mathcal{G}}(m)$?


\textbf{6.} Verificare che $m \in \ker(\Phi)$. Usando la dimostrazione del 
teorema che prova che $\sigma_{ij}$ formano un sistema di generatori di
$\ker(\Phi)$, esprimere $m$ come combinazione lineare dei $\sigma_{ij}$.

\newpage
\begin{center}
\textbf{Soluzioni}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Vale:
\[
\LM(\mathcal{G}) = \left\{(3xy^2, 0), (2xy^2, 0), (4x^2y, 0)  \right\}
\]
\item A me viene:\\
$(P^3)_{x^3ye_1} = \{(0, 0, cx) \mid c \in \mathbb{Q}\}$, \\
$(P^3)_{xy^4e_1} = \{(c_1x^2, c_2x^2, 0) \mid c_1, c_2 \in \mathbb{Q}\}$, \\
$(P^3)_{x^4y^2e_1} = \{(c_1x^3, c_2x^3, c_3x^2y) \mid c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{Q}\}$
\item In generale:\\
$(P^3)_{x^{a+2}ye_1} = \{(0,0,cx^a)\}$\\
$(P^3)_{xy^{b+2}e_1} = \{(c_1y^a,c_2y^a,0)\}$\\
$(P^3)_{x^{a+2}y^{b+2}e_1} = \{(c_1x^{a+1}y^b,c_2x^{a+1}y^b,c_3y^b)\}$\\
$(P^3)_{te_i}=0$ altrimenti.

\item Sistema di generatori di $\ker(\Phi)$:
\[
\sigma_{12} = \frac{1}{3} \vv_1- \frac{1}{2} \vv_2,  \quad
\sigma_{13} = \frac{1}{3} x\,\vv_1- \frac{1}{4} y\, \vv_3,  \quad
\sigma_{23} = \frac{1}{2} x\,\vv_2- \frac{1}{4} y\,\vv_3
\]
\item L'elemento $m$ \`e somma di due componenti omogenee:
\[
m = \left( -3/2x^3\,\vv_2+3/4x^2y\,\vv_3\right) 
+ \left(2x^2y^4\,\vv_2-xy^5\,\vv_3\right)
\]
la prima delle due componenti omogenee sta in $(P^3)_{x^4y^2e_1}$
la seconda sta in $(P^3)_{x^3y^6e_1}$. Quindi $\grd(m) = x^4y^2e_1$
e $\LF(m) = -3/2x^3\,\vv_2+3/4x^2y\,\vv_3$
\item vale:\\
$-3/2x^3\,\vv_2+3/4x^2y\,\vv_3 = 3x^2\sigma_{23}$\\
$2x^2y^4\,\vv_2-xy^5\,\vv_3$ vale qualcosa di analogo, ma non ho 
fatto in tempo a calcolarlo.
\end{enumerate}


\end{document}
