\documentclass{article}
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\pagestyle{empty}

%%%% ENVIRONMENTS
\newtheorem{theorem}{Teorema}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposizione}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollario}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algoritmo}


\newcommand{\LM}{\mathrm{LM}_{\sigma}}
\newcommand{\LT}{\mathrm{LT}_{\sigma}}
\newcommand{\LMU}{\mathrm{LM}_{\tau}}
\newcommand{\LTU}{\mathrm{LT}_{\tau}}
\newcommand{\LF}{\mathrm{LF}_{\sigma, {\cal G}}}
\newcommand{\grd}{\mathrm{deg}_{\sigma, {\cal G}}}
\newcommand{\vv}{\varepsilon}
\begin{document}
\begin{center}
\textbf{Esempio di calcolo di sizigia di monomi}
\end{center}


Sia $P = \mathbb{Q}[x, y]$, fissiamo il term order $\sigma$
su $P^2$ dato da \texttt{PosLex}. Consideriamo i seguenti 
3 elementi di $P^2$:
\[
g_1 =(3xy^2, x^2+1), \quad g_2=(2xy^2-1, xy-1), \quad g_3=(4x^2y, y^2)
\]
che generano un modulo $M \subseteq P^2$. Vale: 
\[
\LM(\mathcal{G}) = \left\{(3xy^2, 0), (2xy^2, 0), (4x^2y, 0)  \right\}
\]
La mappa $\Phi$ \`e data da: 
\[
\Phi : P^3 \longrightarrow P^2, \qquad \Phi(\vv_1)=(3xy^2, 0), \ 
\Phi(\vv_2) = (2xy^2, 0),\  \Phi(\vv_3) = (4x^2y, 0)
\]
Quindi
\[
\LM(g_1) = 3xy^2 e_1, \quad \LM(g_2) = 2xy^2 e_1, \quad \LM(g_3) = 4x^2y e_1,
\]
Pertanto: 
\[
\sigma_{12} = \frac{1}{3} \vv_1- \frac{1}{2} \vv_2,  \quad
\sigma_{13} = \frac{1}{3} x\,\vv_1- \frac{1}{4} y\, \vv_3,  \quad
\sigma_{23} = \frac{1}{2} x\,\vv_2- \frac{1}{4} y\,\vv_3
\]
sono generatori omogenei di $\ker(\Phi) = \textrm{Siz}(\LM(\mathcal{G}))$.

Consideriamo ora $m = \left(-3/2x^3+2x^2y^4 \right)\vv_2+ 
\left(3/4x^2y-xy^5  \right)\vv_3$. 
Calcolando $\Phi(m)$ otteniamo:
\begin{eqnarray*}
\Phi(m) & = & \Phi\left(\left(-3/2x^3+2x^2y^4 \right)\vv_2+ 
\left(3/4x^2y-xy^5  \right)\vv_3\right)\\
 &= & \left(-3/2x^3+2x^2y^4 \right)\LM(g_2)+ 
\left(3/4x^2y-xy^5  \right)\LM(g_3)\\
 & = & -3/2x^3\cdot 2xy^2 e_1 +2x^2y^4 \cdot 2xy^2 e_1 +
        3/4x^2y \cdot 4x^2y e_1-xy^5\cdot 4x^2y e_1\\
 & = & -3x^4y^2\, e_1 + 4x^3y^6\, e_1 +3x^4y^2\, e_1-4x^3y^6\, e_1 = 0
\end{eqnarray*}
Allora $m \in 
\textrm{Siz}(\LM(\mathcal{G}))$ e pertanto si deve poter scrivere some
combinazione lineare di $\sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{23}$. 
Si noti inoltre che $m$ \`e, nella $T\langle e_1, e_2 \rangle$ graduazione, 
somma di due componenti omogenee, e precisamente le componenti omogenee di 
$m$ sono: 
\[
m_1= -3/2x^3\,\vv_2+3/4x^2y\,\vv_3 \quad \textrm{e} \quad 
m_2 = 2x^2y^4\,\vv_2-xy^5\,\vv_3
\]
dove:
\[
m_1 \in (P^3)_{x^4y^2\, e_1}\quad \textrm{e} \quad 
m_2 \in (P^3)_{x^3y^6\, e_1}
\]
Si noti anche che, essendo $\Phi$ graduato, deve essere $\Phi(m_1)=0$
e $\Phi(m_2) = 0$. 
In particolare $m_1$ si deve scrivere come combinazione lineare di
$\sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{23}$. Seguendo la dimostrazione
del teorema sulle sizigie di monomi, abbiamo che ad $m_1$ 
dobbiamo sottrarre $\sigma_{23}$ moltiplicato per $3x^2$. In questo 
caso si vede sutito che $m_1 -3x^2\sigma_{23}=0$. Analogamente per 
$m_2$. 
\end{document}