\documentclass[a4paper]{article}

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\usepackage[italian]{babel}

\begin{document}
\begin{center}
Esempio: risoluzione di sistemi lineari in $K[x_1, \dots, x_n]$
\end{center}

\bigskip
Risolvere il sistema lineare (in $T_1, T_2, T_3$):
\[
\left\{
  \begin{array}{lclclcl}
  (x^2-y)T_1 & + & (xy-1) T_2 & + & xy^2T_3 & = & 
    -x^2y^3 + 2xy^3 + x^3 - xy - 2y^2\\
  xyT_1& & & + & (x^2y+x)T_3 & = & -x^3y^2
  \end{array}
\right.
\]
I coefficienti del sistema lineare sono in $P = \mathbb Q[x, y]$.

Considero il modulo $M\subseteq P^3$ generato da:
\[
h_1 = (x^2-y, xy),\ h_2 = (xy-1, 0),\ h_3 = (xy^2, x^2y+x);
\]
Si tratta innanzitutto di vedere se il vettore
\[
b = (-x^2y^3 + 2xy^3 + x^3 - xy - 2y^2, -x^3y^2)
\]
sta in $M$. 

La base di Gr\"obner di $M$ (rispetto all'ordinamento 
\texttt{DegRevLexPos} sui mo\-no\-mi di $P^3$, cio\`e 
su $T\langle e_1, e_2,e_3 \rangle$)
\`e:
\[
G = \left\{
(xy - 1, 0),\ (x^2 - y, xy), \ (-\frac{1}{2}y^3 - y^2 + x, 0), \ 
(\frac{1}{2}y, x) 
\right\}
\]
Detto $\mathcal{H} = (h_1, h_2, h_3)$ e 
$\mathcal{G} = (g_1, g_2, g_3, g_4)$ (dove $g_1, \dots, g_4$
sono gli elementi di $G$), dall'algoritmo di divisione e 
dall'algoritmo di Buchberger si possono costruire due matrici
$\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ tali che 
$\mathcal{G} = \mathcal{H}\mathcal{A}$
e $\mathcal{H} = \mathcal{G}\mathcal{B}$. Le matrici 
$\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ sono: 
\[
\mathcal{A} = \left(
  \begin{array}{cccc}
  0 & 1 & {\displaystyle \frac{1}{2}}(xy^2 + y) & 
               {\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2y - x) \\
  1 & 0 & -{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2y - y^3 - y^2 +2 x) & 
           -{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^3 - xy^2 - xy + y)\\
  0 & 0 & -{\displaystyle \frac{1}{2}}y^2 & 
            -{\displaystyle \frac{1}{2}}xy + 1
  \end{array}
\right)
\]
\[
\mathcal{B} = \left(
  \begin{array}{cccc}
    0 &  1 &  {\displaystyle \frac{1}{2}} y\\
    1 &  0 & 0 \\
    0 &  0 & 0 \\
    0 & 0 & xy+1
  \end{array}
  \right)
\]

Dalla base di Gr\"obner $G$ si pu\`o stabilire che $b \in M$:
infatti calcolando la forma normale di $b$ rispetto a $G$ 
si ottiene $0$. Dalla riduzione (algoritmo di divisione) 
si trova inoltre che 
\[
b = (-\frac{1}{2}xy^2 + 2y^2)g_1 + xg_2 -(x^2y^2 + xy) g_4
\]
Da questa rappresentazione di $b$ e 
dalla matrice $\mathcal{A}$ che permette di esprimere i 
$g$ in funzione dei generatori  $h$ si ottiene:
\[
b = xh_1+2y^2h_2-xyh_3
\]
e quindi abbiamo una soluzione del sistema lineare, che
\`e: 
\begin{eqnarray*}
T_1 & = & x\\
T_2 & = & 2y^2\\
T_3 & = & -xy
\end{eqnarray*}
Per avere tutte le soluzioni del sistema lineare, 
dobbiamo trovare il modulo delle sizigie di 
$h_1, h_2, h_3$.

Dalla base di Gr\"obner $G$ possiamo ottenere i generatori del 
modulo $\mathrm{Siz}(\mathcal{G})$, che sono le colonne della seguente 
matrice: 
\[
\mathcal{M} = \left(
\begin{array}{cc}
  x & y^2+2y \\
  -y & -2 \\
  1 & 2x \\
  y^2 & 2y
\end{array}
\right)
\]
 
Pertanto i generatori del modulo delle sizigie di $\mathcal{H}$ sono
le colonne della matrice: 
\[
\left(
\mathcal{A}\mathcal{M} \ | \ \mathcal{I}_t - \mathcal{A}\mathcal{B}
\right)
\]
e cio\`e sono:
\begin{eqnarray*}
s_1 & = & (1/2x^2y^3 - 1/2y, \\
& & \qquad -1/2x^3y^2 + 1/2xy^4 
          + 1/2xy^3 - 1/2x^2y + 1/2y^2, \\
 & & \qquad -1/2xy^3 + 1/2y^2) \\
s_2 & = & (2x^2y^2 - 2, -2x^3y + 2xy^3 + 2xy^2 - 2x^2 + 2y, \\
 & & \qquad -2xy^2 + 2y) \\
s_3 & = & -1/2x^3y^2 + 1/2x, \\
  & & \qquad 1/2x^4y - 1/2x^2y^3 - 1/2x^2y^2 + 1/2x^3 - 1/2xy, \\
  & & \qquad 1/2x^2y^2 - 1/2xy
\end{eqnarray*}

Abbiamo allora trovato che tutte le soluzioni del 
sistema lineare di partenza sono date da: 
\[
(T_1, T_2, T_3) = (x, 2y^2, -xy) + f_1 s_1 +f_2 s_2 + f_3 s_3
\]
dove $f_1, f_2, f_3\in P$. Infine, se si volesse 
sapere in quanti modi diversi pu\`o essere scritta
in questo modo una soluzione, si dovrebbero calcolare
le sizigie di $(s_1, s_2, s_3)$.

\end{document}
