Esempio: risoluzione di sistemi lineari in K[x_{1}, …, x_{n}]

Risolvere il sistema lineare (in T_{1}, T_{2}, T_{3}):

\{ \begin{matrix}(x^{2} − y)T_{1} & + & (xy − 1)T_{2} & + & xy^{2}T_{3} & = & −x^{2}y^{3} + 2xy^{3} + x^{3} − xy − 2y^{2} \\ xyT_{1} & & & + & (x^{2}y + x)T_{3} & = & −x^{3}y^{2} \end{matrix}

I coefficienti del sistema lineare sono in P = ℚ[x, y].

Considero il modulo M ⊆ P^{3} generato da:

h_{1} = (x^{2} − y, xy), h_{2} = (xy − 1, 0), h_{3} = (xy^{2}, x^{2}y + x);

Si tratta innanzitutto di vedere se il vettore

b = (−x^{2}y^{3} + 2xy^{3} + x^{3} − xy − 2y^{2}, −x^{3}y^{2})

sta in M.

La base di Gröbner di M (rispetto all’ordinamento DegRevLexPos sui monomi di P^{3}, cioè su T ⟨e_{1}, e_{2}, e_{3}⟩) è:

G = \{(xy − 1, 0), (x^{2} − y, xy), (−\frac{1}{2}y^{3} − y^{2} + x, 0), (\frac{1}{2}y, x)\}

Detto H = (h_{1}, h_{2}, h_{3}) e G = (g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}) (dove g_{1}, …, g_{4} sono gli elementi di G), dall’algoritmo di divisione e dall’algoritmo di Buchberger si possono costruire due matrici A e B tali che G = HA e H = GB. Le matrici A e B sono:

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & \frac{1}{2}(xy^{2} + y) & \frac{1}{2}(x^{2}y − x) \\ 1 & 0 & −\frac{1}{2}(x^{2}y − y^{3} − y^{2} + 2x) & −\frac{1}{2}(x^{3} − xy^{2} − xy + y) \\ 0 & 0 & −\frac{1}{2}y^{2} & −\frac{1}{2}xy + 1 \end{matrix} )

B = ( \begin{matrix}0 & 1 & \frac{1}{2}y \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & xy + 1 \end{matrix} )

Dalla base di Gröbner G si può stabilire che b ∈ M: infatti calcolando la forma normale di b rispetto a G si ottiene 0. Dalla riduzione (algoritmo di divisione) si trova inoltre che

b = (−\frac{1}{2}xy^{2} + 2y^{2})g_{1} + xg_{2} − (x^{2}y^{2} + xy)g_{4}

Da questa rappresentazione di b e dalla matrice A che permette di esprimere i g in funzione dei generatori h si ottiene:

b = xh_{1} + 2y^{2}h_{2} − xyh_{3}

e quindi abbiamo una soluzione del sistema lineare, che è:

T_{1} = x
T_{2} = 2y^{2}
T_{3} = −xy

Per avere tutte le soluzioni del sistema lineare, dobbiamo trovare il modulo delle sizigie di h_{1}, h_{2}, h_{3}.

Dalla base di Gröbner G possiamo ottenere i generatori del modulo Siz(G), che sono le colonne della seguente matrice:

M = ( \begin{matrix}x & y^{2} + 2y \\ −y & −2 \\ 1 & 2x \\ y^{2} & 2y \end{matrix} )

Pertanto i generatori del modulo delle sizigie di H sono le colonne della matrice:

(AM | I_{t} − AB)

e cioè sono:

s_{1} = (1/2x^{2}y^{3} − 1/2y,
−1/2x^{3}y^{2} + 1/2xy^{4} + 1/2xy^{3} − 1/2x^{2}y + 1/2y^{2},
−1/2xy^{3} + 1/2y^{2})
s_{2} = (2x^{2}y^{2} − 2, −2x^{3}y + 2xy^{3} + 2xy^{2} − 2x^{2} + 2y,
−2xy^{2} + 2y)
s_{3} = −1/2x^{3}y^{2} + 1/2x,
1/2x^{4}y − 1/2x^{2}y^{3} − 1/2x^{2}y^{2} + 1/2x^{3} − 1/2xy,
1/2x^{2}y^{2} − 1/2xy

Abbiamo allora trovato che tutte le soluzioni del sistema lineare di partenza sono date da:

(T_{1}, T_{2}, T_{3}) = (x, 2y^{2}, −xy) + f_{1}s_{1} + f_{2}s_{2} + f_{3}s_{3}

dove f_{1}, f_{2}, f_{3} ∈ P. Infine, se si volesse sapere in quanti modi diversi può essere scritta in questo modo una soluzione, si dovrebbero calcolare le sizigie di (s_{1}, s_{2}, s_{3}).