\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{Esempi di funzioni e serie di Hilbert}
\end{center}
\noindent
Ideale omogeneo
$I = (x^2y-z^3, xyz^3-t^5, zt^2-t^3) \subseteq \mathbb{Q}[x, y, z, t]$.\\
Ordinamento $\sigma$: lessicografico puro in cui $x>y>z>t$. 
Base di Gr\"obner ridotta:
\[
\begin{array}{llll}
zt^2 - t^3, & x^2y - z^3,& xyz^3 - t^5,& xt^5 - z^6,\\
z^7 - z^6t, &yz^6 - t^7, & yt^8 - t^9 &
\end{array}
\]
\[
\mathrm{LT}_\sigma(I) = (zt^2, x^2y, xyz^3, xt^5, z^7,yz^6, yt^8)
\]
Ordinamento $\sigma$: lessicografico puro in cui $t>z>y>x$. 
Base di Gr\"obner ridotta:
\[
\begin{array}{llll}
t^3 - zt^2, & z^3 - x^2y, & x^2yt^2 - x^3y^2, & x^3y^2t - x^3y^2z,\\
x^3y^2z^2 - x^4y^3, & x^4y^3z - x^5y^3, & x^5y^4 - x^6y^3&
\end{array}
\]
\[
\mathrm{LT}_\sigma(I) = (t^3, z^3, x^2yt^2, x^3y^2t, x^3y^2z^2, x^4y^3z, x^5y^4)
\]
Ordinamento $\sigma$: deg-lex in cui $x>t>z>y$. 
Base di Gr\"obner ridotta:
\[
\begin{array}{llll}
t^3 - t^2z, & x^2y - z^3, & xz^3y - t^2z^3,& xt^2z^3 - z^6,\\
t^2z^5 - z^6y,& tz^6 - z^7,& z^8 - z^7y &
\end{array}
\]
\[
\mathrm{LT}_\sigma(I) = (t^3, x^2y, xz^3y, xt^2z^3, t^2z^5, tz^6, z^8)
\]
Funzione di Hilbert :
\[
\begin{array}{rcll}
H_I(0) &=& 0 &\\
H_I(1) &=& 0& \\
H_I(2) &=& 0& \\
H_I(3) &=& 2& \\
H_I(4) &=& 8& \\
H_I(5) &=& 21& \\
H_I(6) &=& 43& \\
H_I(7) &=& 76& \\
H_I(Z) &=& 1/6Z^3 + Z^2 + 11/6Z - 44 &  \mbox{se $Z \geq 8$}
\end{array}
\]
Serie di Hilbert:
\[
\textrm{HS}_I(Z)=\frac{2Z^3 + Z^5 - Z^6 - 2Z^8 + Z^{11}}{(1-Z)^4}
\]
Espandendo la serie $\textrm{HS}_I(Z)$ si ottiene:
\[
\textrm{HS}_I(Z)=2Z^3+8Z^4+21Z^5+43Z^6+76Z^7+120Z^8+175Z^9+241Z^{10}+\cdots
\]  
\bigskip
Modulo $M \subseteq P(-3)^2\oplus P(-4)^2$ graduato, generato da:
\[
(z, -x, 0, 0), (0, yz, -x, 0), (0, 0, z^2, -y^2), (0, z^3, 0, -xy)
\]
Base di Gr\"obner di $M$ rispetto all'ordinamento $\sigma$: \texttt{PosLex}:
\[
(z, -x, 0, 0), (0, 0, z^2, -y^2), (0, yz, -x, 0), (0, z^3, 0, -xy)
\]
\[
\mathrm{LT}(M)=\langle
(z, 0, 0, 0), (0, 0, z^2, 0), (0, yz, 0, 0), (0, z^3, 0, 0) \rangle
\]
Pertanto 
\[
\mathrm{LT}(M) = (z)e_1 \oplus (yz, z^3)e_2 \oplus (z^2) e_3
\]
e la funzione di Hilbert di $M$ vale:
\[
\begin{array}{rcll}
H_M(3) &=& 0 & \\
H_M(4) &=& 1 & \\
H_M(Z) &=& 3/2Z^2 - 19/2Z + 14 & \mbox{per $Z \geq 5$}
\end{array}
\]
Per giustificare questo risultato, si noti che nella gradazione scelta, 
$e_1$ ed $e_2$ hanno grado $3$, mentre $e_3$ (ed $e_4$) hanno grado $4$. 
Pertanto 
\[
\dim_\mathbb{Q} (\mathrm{LT}(M))_d = \dim_\mathbb{Q} (z)_{d-3} 
+ \dim_\mathbb{Q} (yz, z^3)_{d-3} + \dim_\mathbb{Q} (z^2)_{d-4}
\]
e vale, per $\delta$ sufficientemente grande:
\begin{eqnarray*}
\dim_\mathbb{Q}(z)_\delta & = &(\delta^2+\delta)/2,\\ 
\dim_\mathbb{Q}(yz, z^3)_\delta & = &(\delta^2+\delta)/2-2,\\
\dim_\mathbb{Q}(z^2)_\delta & = &(\delta^2-\delta)/2
\end{eqnarray*}
Infine, la serie di Hilbert di $M$ \`e:
\[
HS_M(Z) = \frac{Z^4+Z^5+2Z^6-Z^7}{(1-Z)^3}
\]
\end{document}
