\documentclass[a4paper]{article}

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\usepackage{amssymb}


\newcommand{\LT}{\mathrm{LT}_{\sigma}}
\newcommand{\LTU}{\mathrm{LT}_{\tau}}
\newcommand{\vv}{\varepsilon}


\begin{document}
\noindent
\textbf{Base di Gr\"obner di un modulo/ideale graduato su $\mathbb Z$}
\medskip

Sui termini dell'anello $P = \mathbb{Q}[x, y, z]$ fissiamo 
l'ordinamento \texttt{DegRevLex} in cui $x>y>z$, quindi dato da: 
$x^hy^iz^j >_\mathrm{DegRevLex} x^ky^lz^m$ se $h+i+j > k+l+m$ o, se 
$h+i+j = k+l+m$, allora $j < m$ o, se anche $j = m$, allora $i < l$.
Su $P$ fissiamo la gradazione data da $W = (1, 1, 1)$, 
cio\`e $\deg(x^hy^iz^j) = h\cdot 1 + i \cdot 1 + j \cdot 1$. 
Sia $I= (x^2-y^2, y^2z-xz^2, x^3) \subseteq P^1=P$. $I$ \`e un $P$-modulo
(anzi, un ideale) generato da elementi omogenei, quindi \`e un 
modulo (ideale) graduato, di gradi rispettivi $\deg_W(h_1)=2, 
\deg_W(h_2)=3, \deg_W(h_3)=3$. Posto $h_1 = x^2-y^2$,  $h_2 = y^2z-xz^2$, 
$h_3 = x^3$, calcoliamo la base di Gr\"obner di $h_1, h_2, h_3$ usando 
l'algoritmo di Buchberger:
\begin{itemize}
\item
$S(h_1, h_2) = y^2z h_1 - x^2h_2 = x^3z^2-y^2z^3$. Si noti che, 
essendo $h_1$ e $h_2$ omogenei,  $y^2z h_1$ e $x^2h_2$ sono anche 
omogenei e inoltre sono dello stesso grado, in quanto hanno un 
monomio in comune. Pertanto $S(h_1, h_2)$ \`e omogeneo.  
$S(h_1, h_2)$ si pu\`o ridurre con $\{h_1, h_2, h_3\}$ e si ottiene:
\[
x^3z^2-y^2z^3 \rightarrow x^3z^2-y^2z^3-xz^2h_1= -y^2z^3+xz^4 \rightarrow 
-y^2z^3+xz^4+z^2h_2 = 0
\]
Si noti che, per lo stesso motivo spiegato sopra, tutti gli elementi 
ottenuti nei singoli passi della riduzione sono necessariamente omogenei. 
\item
$S(h_1, h_3)=xh_1-1h_3= -xz^2 = h_4$.
\item
$S(h_1, h_4) = z^2h_1+xh_4=-z^4 = h_5$
\item
Tutti gli altri $S$-vettori si riducono a zero.
\end{itemize}
Pertanto una base di Gr\"obner
di $I$ \`e:
\[
h_1 = x^2-y^2, \quad h_2 = y^2z-xz^2, \quad h_3 = x^3, \quad h_4 = -xz^2, 
\quad h_5 = -z^4
\]
\`E necessariamente fatta da elementi omogenei. 
La base di Gr\"obner ridotta \`e data da:
\[
x^2 - z^2,\quad xz^2, \quad y^2z, \quad z^4
\]
Anch'essa fatta da elementi necessariamente omogenei.

\noindent
\textbf{Base di G}
\medskip

Consideriamo l'usuale mappa: $\phi_0 : P^3 \longrightarrow P$ data da: 
$\phi_0(e_i) = h_i$ ($i=1, \dots, 3$). Per far diventare $\phi_0$ omomorfismo
di moduli graduati su $\mathbb{Z}$, dobbiamo definire una graduazione 
su $P^3$ in modo che $\deg_W(e_1) = \deg_W(h_1) = 2$, $\deg_W(e_2) = 3$, 
$\deg_W(e_3) = 3$. Siamo quindi forzati a definire la seguente graduazione
su $P^3$: 
\[
(P^3)_d = \{f_1e_1+f_2e_2+f_3e_3 \ \mid \ f_i \mbox{ omogeneo, }
\deg_W(f_i)+\deg_W(e_i) = d  \}
\]
Questo comporta che $f_1$ deve essere un polinomio omogeneo di grado $d-2$, 
$f_2$ e $f_3$ devono deve essere polinomi omogenei di grado $d-3$.
Allora $f_1 \in P(-2)_d$ e $f_2, f_3 \in P(-3)_d$. Quindi 
$P^3$ viene cos\`i graduato: 
\[
F_0 = P(-2) \oplus P(-3) \oplus P(-3) = P(-2) \oplus P(-3)^2
\]
Il nucleo della mappa $\phi_0$ \`e un sottomodulo graduato di $F_0$ e 
si pu\`o vedere che \`e generato da:
\[
\begin{array}{ll}
g_1  = (x^3, 0, -x^2 + z^2), & 
g_2 = (xy^2 - x^2z, xz, -y^2 + xz), \\
g_3 = (y^2z - xz^2, -x^2 + z^2, 0), &
g_4 = (x^2y^2 + y^2z^2 - xz^3, z^3, -xy^2 + z^3)
\end{array}
\]
Si noti che $g_1, \dots, g_4$ sono omogenei: ad esempio vediamo che
$g_2$ \`e omogeneo: la prima componente di $g_2$ \`e $xy^2 - x^2z$, 
\`e un polinomio omogeneo nella gradazione data da $W$ e
$\deg_W(xy^2 - x^2z)=3$, quindi $xy^2 - x^2z\in P_3=P(-2)_5$. La 
seconda componente di $g_2$ \`e $xz$, polinomio omogeneo, $\deg_W(xz)=2$
e $xz\in P_2=P(-3)_5$, analogamente la terza componente di $g_2$ 
vale $-y^2 + xz$, polinomio omogeneo di grado 2 e anche esso sta
in $P_2=P(-3)_5$, pertanto $g_2 \in \left(P(-2) \oplus P(-3)^2 \right)_5$.
In questo modo si vede che tutti i $g_i$ sono omogenei e vale: 
$\deg_W(g_1) = 5$, 
$\deg_W(g_2)= 5$, $\deg_W(g_3) = 5$ e $\deg_W(g_4) = 6$.

Passiamo al calcolo delle sizigie di $\mathcal{G}= (g_1, \dots, g_4)$,
cio\`e al nucleo della mappa $\phi_1 : P^4 \longrightarrow P^3$ dato 
da $\phi_1(\vv_j)=g_j$ (dove $\vv_1, \dots, \vv_4$ \`e la base canonica 
di $P^4$). 
L'omomorfismo $\phi_1$ pu\`o essere reso graduato su $\mathbb{Z}$, 
definendo su $P^4$ una graduazione tale che ad $\vv_1, \vv_2, \vv_3$ 
\`e assegnato grado $5$ (i gradi di $g_1, g_2$ e $g_3$), mentre ad 
$\vv_4$ \`e assegnato grado~$6$ (il grado di $g_4$). Pertanto $\phi_1$
diventa: 
\[
\phi_1 : P(-5)^3\oplus P(-6) \longrightarrow P(-2) \oplus P(-3)^2
\]
e quindi abbiamo finora costruito la seguente sequenza esatta di $P$-moduli
graduati su $\mathbb{Z}$:
\[
P(-5)^3\oplus P(-6) \stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} P(-2) \oplus P(-3)^2
\stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} I \longrightarrow 0
\]
In particolare $\phi_1$ d\`a una presentazione finita di $I$. $\phi_1$ 
\`e rappresentata dalla seguente matrice $A=(a_{ij})$ (dove 
$\phi_1(\vv_j) =\sum a_{ij}e_i$) 
\[
A = \left(
\begin{array}{cccc}
x^3 & xy^2-x^2z & y^2z-xz^2 & x^2y^2+y^2z^2-xz^3\\
0   & xz & -x^2+z^2 & z^3 \\
-x^2+z^2 & -y^2+xz & 0 & -xy^2+z^3 \\ 
\end{array}
\right)
\]
(quindi le colonne di $A$ sono i vettori $g_1, \dots, g_4$).
Scrivendo sotto alle colonne della matrice $A$ gli shift del 
dominio di $\phi_1$ e a sinistra delle righe di $A$ gli shift 
del codominio di $\phi_1$, otteniamo la seguente tabella:
\[
\begin{array}{c|cccc}
2 & x^3 & xy^2-x^2z & y^2z-xz^2 & x^2y^2+y^2z^2-xz^3\\
3 & 0   & xz & -x^2+z^2 & z^3 \\
3 & -x^2+z^2 & -y^2+xz & 0 & -xy^2+z^3 \\ \hline
  & 5 & 5 & 5 & 6
\end{array}
\]
che evidenzia la propriet\`a seguente: il grado $\deg_W(a_{ij})$
di ogni entrata $a_{ij}$ della matrice $A$ \`e uguale alla 
differenza tra il grado della colonna $j$ e il grado della
riga $i$. Una matrice con questa propriet\`a si dice matrice omogenea 
o graduata. 

Possiamo proseguire nel calcolo delle sizigie: 
Il nucleo di $\phi_1$ si pu\`o vedere che \`e genato da:
\[
m_1=(z, x, z, -1),\quad  m_2=(y^2 - xz, -x^2 + z^2, -xz, 0)
\]
$m_1$ e $m_2$ sono elementi omogenei di $P(-5)^3 \oplus P(-6)$
e vale $\deg_W(m_1) = 6$ e $\deg_W(m_2)= 7$. Quindi la risoluzione
prosegue con:
\[
\phi_2 : P(-6)\oplus P(-7) \longrightarrow P(-5)^3 \oplus P(-6)
\]
La matrice che rappresenta $\phi_2$ \`e:
\[
\left(
\begin{array}{cc}
z & y^2-xz \\
x & -x^2+z^2 \\
z & -x^2+z^2 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)
\]
La matrice \`e graduata, in accordo con la seguente tabella
(dove la prima colonna rappresenta nuovamente gli shift del codominio, 
mentre l'ultima riga rappresenta gli shift del dominio):

\[
\begin{array}{c|cc}
5 & z & y^2-xz \\
5 & x & -x^2+z^2 \\
5 & z & -x^2+z^2 \\
6 & -1 & 0 \\ \hline
   & 6 & 7
\end{array}
\]
Si pu\`o vedere che $\ker(\phi_2)=0$, quindi in particolare abbiamo ottenuto
la seguente risoluzione libera graduata su $\mathbb{Z}$ dell'ideale $I$:
\[
0 \rightarrow  P(-6)\oplus P(-7) 
\stackrel{\phi_2}{\longrightarrow} P(-5)^3 \oplus P(-6)
\stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} P(-2) \oplus P(-3)^2
\stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} 
I \rightarrow 0
\] 
La risoluzione libera trovata non \`e una risoluzione libera minimale di 
$I$. 
Ci si accorge di ci\`o dal fatto che la sizigia $m_1$ contiene una costante
nella quarta coordinata, questo significa $g_4$ pu\`o essere scritto 
come combinazione lineare di $g_1, \dots, g_3$ (infatti $m_1$ stabilisce 
che $zg_1+xg_2+zg_3=g_4$). Una risoluzione libera minimale di $I$ \`e la 
seguente:
\[
0 \longrightarrow P(-7) \stackrel{\beta}{\longrightarrow} P(-5)^3 
\stackrel{\alpha}{\longrightarrow} P(-2) \oplus P(-3)^2 
\stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} 
I \rightarrow 0
\]
dove:
\[
\alpha = \left(
\begin{array}{ccc}
  xz^2& 0 & y^2z \\
  -x^2 + z^2 & y^2 & 0\\
  0 &  -xz&  -x^2 + z^2
\end{array}
\right), \qquad
\beta = \left(
\begin{array}{c}
  y^2\\
  x^2-z^2\\
  -xz
\end{array}
\right).
\]
\end{document}
