Ideali, moduli, term order. Moduli su un anello (commutativo unitario). Somma diretta di moduli, moduli liberi. Anello P dei polinomi in n indeterminate su un campo. Termini di P e di P^r. Ideali/Moduli monomiali. Lemma di Dixon. Teorema di struttura dei moduli monomiali. Ordinamenti sui termini  di P (Lex, DegLex, DegRevLex) e sui termini di P^r (ToPos e PosTo). Equivalenza di un term order con un buon ordinamento. Definizione di Lt(), LM(), LC(). Teorema della base di Macaulay. Algoritmo di divisione.

Anelli graduati. Anelli graduati (su un monoide), gradazioni su P (date da Z e da Nⁿ). Monomodulo. Moduli graduati. Esempi di graduazioni su moduli; graduazione data da uno shift. Omomorfismo di moduli graduati. Sottomoduli graduati di moduli graduati. Quoziente di moduli graduati. Condizioni necessarie e sufficienti per un modulo affinché sia modulo graduato.

Sizigie. Definizione delle sizigie di una famiglia finita G di elementi di un P-modulo. La sequenza estatta 0 --> Siz(G) --> P^s --> P^r --> P^r/M --> 0 (dove G = (g₁, ..., g_s), con g_i elementi di P^r). Graduazione di P^s in modo da trasformare la precedente sequenza esatta in una seguenza esatta di moduli graduati. La sequenza esatta
associata: 0 --> Siz(LM(G)) --> P^s --> P^r --> P^r/ Im(F)--> 0. Definizione di sigma-grado e di sigma-forma direttiva (dove sigma è un term order fissato). Teorema che permette il calcolo delle sizigie di moduli monomiali. Sollevamento di un elemento di P^s. Passaggio dalle sizigie dei monomi massimi di una famiglia G alle sizigie di G.

Basi di Groebner per moduli. Definizione di base di Groebner di un modulo e varie caratterizzazioni (con le sizigie, con la rappresentazione degli elementi del modulo, con l'unicità di riduzione, ecc.). Forma normale di un elemento di un modulo rispetto ad una base di Groebner del modulo. Basi di Groebner ridotte, teorema di Buchbergher per la caratterizzazione delle basi di Groebner; algoritmo di Buchberger (breve richiamo). Calcolo esplicito delle sizigie con le basi di Groebner: sizigie di una base di Groebner e di un sistema di generatori di un modulo. Algebra lineare nell'anello dei polinomi. Presentazione di un modulo. Teorema delle sizigie di Hilbert (dimostrazione di Schreyer).

Proprietà dei moduli graduati. Graduazione su P data da un vettore W di pesi per le variabili di P. Sistemi di generatori minimali di un P-modulo graduato. Lemma di Nakayama, versione omogenea. Invarianza della cardinalità di un sistema minimale di generatori di un P-modulo f.g. Basi di Groebner omogenee. Costruzione delle sizigie di una famiglia di elementi di P^r omogenei. Presentazioni minimali omogenee di un modulo. Matrici omogenee. Definizione di coppia di gradi di una matrice omogenea. Caratterizzazione delle matrici omogenee invertibili. Invarianti associati ad una presentazione minimale omogenea. Risoluzioni graduate di un modulo graduato. Teorema delle sizigie di Hilbert nel caso omogeno. Risoluzioni graduate minimali. Invarianti di un  modulo associati alle risoluzioni graduate minimali. Numeri di Betti.

Funzione di Hilbert di un modulo graduato. Alcune proprietà dell afunzione di Hilbert. Calcolo della funzione di Hilbert (per mezzo del teorema della base di Macaulay). Esempi.

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Testi principalmente seguiti:
- Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano. Computational Commutative algebra 1 - Springer-Verlag.
- Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano. Computational Commutative algebra 2 - Springer-Verlag.
 

Esempi

• Algoritmo di divisione.
• Risoluzione di sistemi lineari in K[x₁,...,x_n]
• Alcune notazioni/teoremi + esempio calcolo sizigie
• Esempio di risoluzioni minimali