Richiami di algebra di base: Gruppi, sottogruppi, sottogruppi normali, quozienti di gruppi, teoremi di omomorfismo per gruppi; anelli, ideali, anelli quoziente, teoremi di omomorfismo per anelli, anelli della forma A[a₁,...,a_n]; ideali primi e massimali, domini di integrità, campi. Costruzione dell'anello dei polinomi in n indeterminate.

Anelli commutativi: Operazioni con gli ideali: somma, prodotto, intersezione, radicale di un ideale, ideali radicali, ideali finitamente generati. Esempi di quozienti in K[x₁,...,x_n]. Anelli noetheriani e loro caratterizzazioni, teorema della base di Hilbert. Moduli su un anello, sottomoduli, moduli quozienti, moduli liberi, moduli finitamente generati, somma diretta di moduli. Anelli e moduli graduati. La funzione di Hilbert, la serie di Hilbert.

Basi di Groebner: Definizione di "term-ordering" sull'anello dei polinomi. Term-ordering e buon ordinamento. Lemma di Dixon, algoritmo di riduzione nell'anello dei polinomi. Definizione di base di Groebner e varie caratterizzazioni, algoritmo di Buchberger per il calcolo delle basi di Groebner. Basi di Groebner minimali e ridotte. Unicità della base di Groebner ridotta. Il teorema della base di Hilbert come conseguenza del lemma di Dixon.

Applicazioni delle basi di Groebner: Problema dell'appartenenza, problema della rappresentazione, calcolo della base di  K[x₁,...,x_n]/I come spazio vettoriale su  K. Rappresentanti canonici degli elementi del quoziente  K[x₁,...,x_n]/I. Cenno al calcolo della funzione di Hilbert di K[x₁,...,x_n]/I, con I ideale omogeneo. Il problema dell'eliminazione delle variabili, calcolo dell'intersezione di ideali di  K[x₁,...,x_n]. Calcolo delle relazioni algebriche tra elementi di  K[x₁,...,x_n]. Sizigie. Algebre finitamente generate di  K[x₁,...,x_n] come quozienti di anelli di polinomi.

Polinomi invarianti: Polinomi simmetrici, polinomi simmetrici elementari, i polinomi simmetrici elementari visti come generatori dell'anello dei polinomi simmetrici; polinomi k-ima potenza simmetrica. Sottogruppi di GL(n,C). Azione di un sottogruppo di GL(n,C) sull'anello dei polinomi K[x₁,...,x_n], con particolare riguardo al caso di un sottogruppo di ordine finito.Polinomi invarianti, invarianti fondamentali. Operatore di Reynolds e sue proprietà. Teorema di finitezza di Hilbert e teorema di E. Noether (nel caso dell'azione di un sottogruppo finito di GL(n,C)). Teorema di Molien per il calcolo della serie di Hilbert di un anello di invarianti. Cenno al problema del calcolo di invarianti di forme binarie.

Calcolo effettivo di invarianti: Calcolo degli invarianti fondamentali con tecniche computazionali, esempi.

Calcolo simbolico: Introduzione al pacchetto di Computer algebra "Maple". Utilizzazione di "Maple" per il calcolo di invarianti. Cenno al pacchetto "CoCoA".

Testi seguiti:
- W. Adams, P. Loustaunau, An Introduction to Groebner bases, AMS.
- M.F. Atiyah, I.G. Macdonald,  Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli.
- A. Capani, G. Niesi e L. Robbiano, CoCoA, a system for doing Computations in Commutative Algebra, Available from http://cocoa.dima.unige.it.
- D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward algebraic geometry, GTM, Springer Verlag.
- A. Heck, Introduction to Maple.
- M. Kreuzer, L. Robbiano, Computational Commutative Algebra 1, Springer Verlag.
- B. Sturmfels, Algorithms in invariant theory, Springer Verlag.