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\begin{document}
\begin{center}
\large
\textbf{Algebra 2}\\
\textbf{Corso di laurea in Matematica}
\end{center}
\begin{flushright}
19 giugno 2013
\end{flushright}
\bigskip

\normalsize
Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente
in modo sintetico \dots).


\begin{document}

\begin{enumerate}
\item Si consideri l'ideale $I = (x-y-2, x+y, z-3) 
\subseteq \mathbb{Q}[x, y, z]$. Si provi che $I$ \`e un ideale massimale.

\item Provare che $\mathbb{Q}[\sqrt{2}, \sqrt{6}] = \mathbb{Q}[\sqrt{2}+
\sqrt{3}]$.

\item Sia $a\in \mathbb{R}$ un elemento algebrico su $\mathbb{Q}$ il cui 
polinomio minimo ha grado~$6$. Sia $K$ un campo tale che $\mathbb{Q} 
\subsetneq K \subsetneq \mathbb{Q}[a]$. 
\begin{enumerate}
\item provare che $K$ \`e un'estensione algebrica di $\mathbb{Q}$;
\item Se $b \in K$, cosa si pu\`o dire del grado del polinomio minimo
di $b$ su $\mathbb{Q}$?
\end{enumerate}
\item Usando l'algoritmo di Berlekamp, trovare per quali valori 
di $a\in \mathbb{Z}_7$ il polinomio $x^2-a \in \mathbb{Z}_7[x]$
\`e irriducibile.

\end{enumerate}

\end{document}
