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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{\large
Algebra 2\\
Corso di laurea in Matematica \\
\medskip
Prova scritta}

\end{center}
\medskip

\begin{flushright}
20 dicembre 2011
\end{flushright}

\bigskip
Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente
in modo sintetico $\dots$).

\begin{enumerate}
\item Sia $A$ un anello e $(I_k)_{k \in \mathbb N}$ una famiglia di 
ideali tale che, per ogni $k \in \mathbb{N}$, $I_k \subseteq I_{k+1}$. 
Provare che:
\[
\bigcup_{k \in \mathbb N} I_k
\]
\`e un ideale di $A$. 
\item Sia $f = x^{15}+3x^{10}+1 \in \mathbb{Z}_5[x]$. Scrivere $f$ come 
prodotto di polinomi irriducibili in $\mathbb{Z}_5[x]$. 
\item Provare che in $\mathbb{Q}[x]$ ci sono infiniti polinomi 
irriducibili monici, di grado 3
e la cui derivata \`e un polinomio riducibile e 
ci sono anche infiniti polinomi 
monici irriducibili, di grado 3, la cui derivata \`e irriducibile.
\item Sia $q\in \mathbb{Z}_p[x]$ un polinomio irriducibile di grado $n$
($p$ \`e un numero promo). Provare che $q$ divide $x^{p^n} - x$. 
\end{enumerate}

\end{document}
