Algebra 2 Corso di laurea in Matematica Prova scritta

20 dicembre 2011

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Sia A un anello e (I_{k})_{k∈ℕ} una famiglia di ideali tale che, per ogni k ∈ ℕ,

I_{k} ⊆ I_{k+1}. Provare che:

⋃_{k∈ℕ} I_{k}

è un ideale di A.

2. Sia f = x^{15} + 3x^{10} + 1 ∈ ℤ_{5}[x]. Scrivere f come prodotto di polinomi irriducibili in ℤ_{5}[x].

3. Provare che in ℚ[x] ci sono infiniti polinomi irriducibili monici, di grado 3 e la cui derivata è un polinomio riducibile e ci sono anche infiniti polinomi monici irriducibili, di grado 3, la cui derivata è irriducibile.

4. Sia q ∈ ℤ_{p}[x] un polinomio irriducibile di grado n (p è un numero promo). Provare che q divide x^{p^{n}} − x.