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\begin{document}
\begin{center}
\large
\textbf{Algebra 2}\\
\textbf{Corso di laurea in Matematica}
\end{center}
\begin{flushright}
4 settembre 2013
\end{flushright}
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Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente
in modo sintetico \dots).

\begin{enumerate}
\item Sia $\alpha \in \mathbb{C}$ algebrico su $\mathbb{Q}$. Provare 
che allora esiste un $a\in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ ed esiste un 
polinomio $f \in \mathbb{Z}[x]$ monico, tale che $f(a \alpha) = 0$.
\item Trovare tutti gli ideali massimali di $\mathbb{Z}_5[x, y]$ che contengono
i polinomi $x^2+1$ e $y^3+2y+1$.
\item Sia $A= \mathbb{Q}[x]$ e $F: A \longrightarrow A$ data da 
$F(a) = a$ per ogni $a \in \mathbb{Q}$ e $F(x) = 3x+5$ (e poi estesa
nell'unico modo possibile). Provare che $F$ \`e un automorfismo di $A$.
Mostrare poi che il polinomio $(3x+5)^n+2$ \`e irriducibile per ogni intero
$n \geq 1$.
\item Sia $I \subseteq \mathbb{R}[x]$ un ideale tale che 
$L = \mathbb{R}[x]/I$ \`e un campo e sia 
$\pi : \mathbb{R}[x] \longrightarrow \mathbb{R}[x]/I$ la proiezione canonica. 
Provare che, detto $K = \pi(\mathbb{R})$, $K$ \`e un campo contenuto in 
$L$. Quali sono i possibili valori che pu\`o assumere $[L:K]$?

\end{enumerate}
\end{document}
