Algebra 2 Corso di laurea in Matematica

4 settembre 2013

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Sia α ∈ ℂ algebrico su ℚ. Provare che allora esiste un a ∈ ℕ\{0} ed esiste un polinomio f ∈ ℤ[x] monico, tale che f(aα) = 0.

2. Trovare tutti gli ideali massimali di ℤ_{5}[x, y] che contengono i polinomi x^{2} + 1 e y^{3} + 2y + 1.

3. Sia A = ℚ[x] e F : A ⟶ A data da F (a) = a per ogni a ∈ ℚ e F (x) = 3x + 5 (e poi estesa nell’unico modo possibile). Provare che F è un automorfismo di A. Mostrare poi che il polinomio (3x + 5)^{n} + 2 è irriducibile per ogni intero n ≥ 1.

4. Sia I ⊆ ℝ[x] un ideale tale che L = ℝ[x]/I è un campo e sia π : ℝ[x] ⟶ ℝ[x]/I la proiezione canonica. Provare che, detto K = π(ℝ), K è un campo contenuto in L. Quali sono i possibili valori che può assumere [L : K]?