Algebra 2 Corso di laurea in Matematica Prova scritta

27 settembre 2012

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Sia f = x^{15} + 3x^{10} + 1 ∈ ℤ_{5}[x]. Scrivere f come prodotto di polinomi irriducibili in ℤ_{5}[x].

2. Provare che in ℚ[x] ci sono infiniti polinomi irriducibili monici, di grado 3 e la cui derivata è un polinomio riducibile e ci sono anche infiniti polinomi monici irriducibili, di grado 3, la cui derivata è irriducibile.

3. Sia K = ℤ_{3}[x]/(x^{2} + x + 2). Provare che K è un campo. Elencare gli elementi di K. Trovare poi due elementi a, b ∈ K tali che a sia elemento primitivo di K e b non sia primitivo.

4. Sia A un anello e (I_{k})_{k∈ℕ} una famiglia di ideali tale che, per ogni k ∈ ℕ,

I_{k} ⊆ I_{k+1}. Provare che:

⋃_{k∈ℕ} I_{k}

è un ideale di A.