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\begin{document}
\begin{center}
\large
\textbf{Algebra 2}\\
\textbf{Corso di laurea in Matematica}
\end{center}
\begin{flushright}
26 febbraio 2013
\end{flushright}
\bigskip

\normalsize
Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente
in modo sintetico \dots).

\begin{enumerate}
\item Sia $K$ un campo. Descrivere tutti gli ideali dell'anello $K \times K$
(dove $K\times K$ \`e l'anello prodotto). 

\item Sia $A$ l'anello $\mathbb{Q}[x]$ dei polinomi a coefficienti 
nel campo razionale. Sia $F : A \longrightarrow A$ data da $F(a) = a$ per ogni
$a\in \mathbb{Q}$, $F(x) = 2x+3$ e poi estesa nell'unico modo possibile 
in modo da renderla omomorfismo di anelli. Provare che $F$ \`e un automorfismo
di $A$. 

\item Trovare tutti gli ideali massimali di $\mathbb{Z}_7[x, y, z]$ che 
contengono l'ideale $I = (x^2+6, y+1, z+3) \subseteq \mathbb{Z}_7[x, y, z]$. 

\item Provare che un elemento $a\in \mathbb{R}$, $a > 0$, 
\`e algebrico su $\mathbb{Q}$ se e solo se $\sqrt{a}$ \`e algebrico su 
$\mathbb{Q}$.

\end{enumerate}
\end{document}
