Algebra 2 Corso di laurea in Matematica

26 febbraio 2013

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Sia K un campo. Descrivere tutti gli ideali dell’anello K ×K (dove K ×K è l’anello prodotto).

2. Sia A l’anello ℚ[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale. Sia F : A ⟶ A data da F (a) = a per ogni a ∈ ℚ, F (x) = 2x + 3 e poi estesa nell’unico modo possibile in modo da renderla omomorfismo di anelli. Provare che F è un automorfismo di A.

3. Trovare tutti gli ideali massimali di ℤ_{7}[x, y, z] che contengono l’ideale I = (x^{2} + 6, y + 1, z + 3) ⊆ ℤ_{7}[x, y, z].

4. Provare che un elemento a ∈ ℝ, a > 0, è algebrico su ℚ se e solo se \sqrt{a} è algebrico su ℚ.