Algebra 2 Corso di laurea in Matematica Prova scritta

23 settembre 2014

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Dire quanti fattori irriducibili ha il polinomio x^{108} + 1 ∈ ℤ_{3}[x].

2. Sia a ∈ ℂ. Dire quali valori può avere [ℚ[a] : ℚ[a^{2} + 1]]. Per ciascuno dei possibili valori trovati, fornire un esempio.

3. Si consideri l’ideale I = (x + 2, y^{2} + 4) ⊆ ℤ_{5}[x, y]. Trovare tutti gli ideali massimali di ℤ_{5}[x, y] che contengono I.

4. Provare che K = ℤ_{3}[x]/(x^{2} + 1) è un campo e trovare tutti i suoi elementi primitivi.