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\begin{document}
\begin{center}
\large
\textbf{Algebra 2}\\
\textbf{Corso di laurea in Matematica}
\end{center}
\begin{flushright}
21 gennaio 2014
\end{flushright}
\bigskip

\normalsize
Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente
in modo sintetico \dots).

\begin{enumerate}
\item Si consideri l'estensione di campi $\mathbb{R} : \mathbb{Q}$ e 
sia $a\in \mathbb{R}$. Provare che $a$ \`e algebrico su $\mathbb{Q}$ se e solo
se $\sqrt[3]{a}$ \`e algebrico su $\mathbb{Q}$.

\item Trovare tutti gli elementi invertibili e tutti i divisori dello zero 
dell'anello 
$\mathbb{Z}_2[x]/(x^2+1)$.

\item Sia $A$ un anello commutativo unitario e siano $I, J$ due ideali di $A$
tali che $I + J = (1)$. Provre che l'anello quoziente $A/(I\cap J)$ \`e
isomorfo all'anello prodotto $A/I \times A/J$.

\item Provare che il polinomio $(a^2+2a-1)x^7 + (a-1) x^2 + a^2-a \in 
\mathbb{Z}[x]$ \`e irriducibile per infiniti valori di $a \in \mathbb{Z}$.
\end{enumerate}

\end{document}
