Algebra 2 Corso di laurea in Matematica

4 settembre 2013

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Si consideri l’estensione di campi ℝ : ℚ e sia a ∈ ℝ. Provare che a è algebrico su ℚ se e solo se ^{3} \sqrt{a} è algebrico su ℚ.

2. Trovare tutti gli elementi invertibili e tutti i divisori dello zero dell’anello ℤ_{2}[x]/(x^{2} + 1).

3. Sia A un anello commutativo unitario e siano J, J due ideali di A tali che I + J = (1). Provre che l’anello quoziente A/(I ∩ J) è isomorfo all’anello prodotto A/I × A/J.

4. Provare che il polinomio (a^{2} + 2a − 1)x^{7} + (a − 1)x^{2} + a^{2} − a ∈ ℤ[x] è irriducibile per infiniti valori di a ∈ ℤ.