Algebra 2 Corso di laurea in Matematica Prova scritta

20 settembre 2011

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Sia K un campo finito con 9 elementi. Quanti elementi primitivi ha K?

2. Sia a ∈ ℝ algebrico su ℚ e si supponga che il polimomio minimo di a su ℚ sia di grado p, con p primo. Sia b ∈ ℚ[a] \ ℚ. Provare che b è algebrico su ℚ e dire qual è il grado del polinomio minimo di b su ℚ.

3. Usando il metodo di Berlekamp, trovare il numero di fattori irriducibili di 4x^{3} + 3 ∈ ℤ_{5}[x].

4. Sia K un campo, f, q ∈ K[x], con q irriducibile e si supponga che n ∈ ℕ \ {0} sia la massima potenza di q che divide f. Quale potenza di q divide f′?