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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{\large
Algebra 2\\
Corso di laurea in Matematica \\
\medskip
Prova scritta}

\end{center}
\medskip

\begin{flushright}
19 gennaio 2010
\end{flushright}

\bigskip
Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente
in modo sintetico $\dots$).

\begin{enumerate}
\item Sia $A = \mathbb{Z}_3[x]/(x^2)$. Quanti elementi ha l'anello $A$? 
Descrivere  tutti gli elementi di $A$ che sono invertibili.

\item Dire per quali valori di $a, b \in \mathbb{Z}$ il polinomio 
\[
f_{a, b} = x^{47+a} + 2 x^{12+3b}+1 \in \mathbb{Z}_7[x]
\] 
\`e potenza settima di un polinomio $g \in \mathbb{Z}_7[x]$
(ovviamente \`e sott'inteso che $a$ e $b$ devono essere tali 
da rendere gli esponenti di $x$ non negativi).

\item Usando l'algoritmo di Euclide trovare il massimo comun
divisore $d$ di $38$ e $24$. Trovare poi tutti i possibili 
valori di $(a, b) \in \mathbb{Z}^2$ tali che $d=38a+24b$.

\item Usando il metodo di Berlekamp, provare che il polinomio
\[
x^3+2 \in \mathbb{Z}_5[x]
\]
\`e il prodotto di due fattori irriducibili. 

\end{enumerate}

\end{document}