Algebra 2 Corso di laurea in Matematica Prova scritta

19 gennaio 2010

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Sia A = ℤ_{3}[x]/(x^{2}). Quanti elementi ha l’anello A? Descrivere tutti gli elementi di A che sono invertibili.

2. Dire per quali valori di a, b ∈ ℤ il polinomio

f_{a,b} = x^{47+a} + 2x^{12+3b} + 1 ∈ ℤ_{7}[x]

è potenza settima di un polinomio g ∈ ℤ_{7}[x] (ovviamente è sott’inteso che a e b devono essere tali da rendere gli esponenti di x non negativi).

3. Trovare il polinomio minimo sul campo ℚ del numero complesso 3 + 3i. Sia poi K = ℚ(3 + 3i). Trovare il polinomio minimo di \sqrt{3} su K. Dire infine quanto vale [ℚ(3 + 3i, \sqrt{3}) : ℚ].

4. Usando il metodo di Berlekamp, provare che il polinomio

x^{3} + 2 ∈ ℤ_{5}[x]

è il prodotto di due fattori irriducibili.