Algebra 2 Corso di laurea in Matematica Prova scritta

17 luglio 2012

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Dire quanti fattori irriducibili ha il polinomio x^{36} + 1 ∈ ℤ_{3}[x].

2. Sia K un campo ed L una sua estensione. Sia inoltre a ∈ L algebrico su K di grado 3 (cioè il polinomio minimo di a su K è di grado 3). Provare che a^{2} + 1 è anche algebrico su K di grado ancora 3.

3. Si consideri lideale I = (x + 1, y^{2} + 2) ⊆ ℤ_{3}[x, y]. Trovare tutti gli ideali massimali di ℤ_{3}[x, y] che contengono I.

4. Sia f : ℤ_{15} ⟶ ℤ_{3} ⊕ ℤ_{5} data da f([u]) = (u mod 3, u mod 5) (dove [u] indica la classe di u in ℤ_{15}). Come è ben noto, f è un isomorfismo di anelli. Trovare l’inversa g di f, più precisamente, dato (a, b) ∈ ℤ_{3} ⊕ ℤ_{5}, trovare una formula per esprimere g(a, b).