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\begin{document}
\begin{center}
\large
\textbf{Algebra 2}\\
\textbf{Corso di laurea in Matematica}
\end{center}
\begin{flushright}
15 giugno 2011
\end{flushright}
\bigskip

\normalsize
Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente
in modo sintetico \dots).

\begin{enumerate}
\item Provare che l'ideale $(x-1, x+y-2) \subseteq \mathbb{Q}[x, y]$
\`e un ideale massimale.
\item Sia $K=\mathbb{Z}_2[x]/(x^3+x+1)$. Provare che $K$ \`e un campo. 
Provare poi che l'elemento $a=[x+1]\in K$ \`e algebrico su $\mathbb{Z}_2$
e trovare il suo polinomio minimo (sempre su $\mathbb{Z}_2$).
\item Usando l'algoritmo di Berlekamp, dire quanti sono i fattori 
irriducibili di $4x^2+1 \in \mathbb{Z}_5[x]$.
\item Sia $A = \mathbb{Q}[x]/(x^3)$. Descrivere tutti i divisori dello
zero di $A$.
\end{enumerate}
\end{document}
