Algebra 2 Corso di laurea in Matematica

15 giugno 2011

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Provare che l’ideale (x − 1, x + y − 2) ⊆ ℚ[x, y] è un ideale massimale.

2. Sia K = ℤ_{2}[x]/(x^{3} + x + 1). Provare che K è un campo. Provare poi che l’elemento a = [x + 1] ∈ K è algebrico su ℤ_{2} e trovare il suo polinomio minimo (sempre su ℤ_{2}).

3. Usando l’algoritmo di Berlekamp, dire quanti sono i fattori irriducibili di 4x^{2} + 1 ∈ ℤ_{5}[x].

4. Sia A = ℚ[x]/(x^{3}). Descrivere tutti i divisori dello zero di A.