Algebra 2 Corso di laurea in Matematica Prova scritta

14 luglio 2010

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Sia A un anello (commutativo, unitario) in cui ogni elemento a ∈ A \ {0} ha ordine finito rispetto alla moltiplicazione, cioè:

∀a ∈ A \ {0} ∃n ∈ ℕ tale che a^{n} = 1.

Provare allora che in A ogni elemento non nullo è invertibile (cioè A è un campo).

2. Del campo K si sa che ha 4 elementi (0, 1, a, b) e la tabella di moltiplicazione degli elementi non nulli è:

\begin{matrix}· & 1 & a & b \\ 1 & 1 & a & b \\ a & a & b & 1 \\ b & b & 1 & a \end{matrix}

• Dire qual è la caratteristica p del campo K;

• Trovare tutti gli elementi primitivi di K;

• Trovare tutti i polinomi irriducibili q ∈ ℤ_{p}[x], tali che ℤ_{p}[x]/(q) è isomorfo a K e mostrare esplicitamente come tali isomorfismi operano sugli elementi;

• Scrivere la tabella additiva di K.

3. Si consideri il numero a = \sqrt{27} ∈ ℂ. Trovare il polinomio minimo di a rispettivamente sui campi ℚ, ℚ[\sqrt{3}] e ℚ[i] (ove i ∈ ℂ è tale che i^{2} = −1).

4. Usando l’algoritmo di Berlekamp, trovare i fattori irriducibili di

x^{5} + x + 1 ∈ ℤ_{2}[x].