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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{\large
Algebra 2\\
Corso di laurea in Matematica \\
\medskip
Prova scritta}

\end{center}
\medskip

\begin{flushright}
12 novembre 2014
\end{flushright}

\bigskip
Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente
in modo sintetico $\dots$).

\begin{enumerate}
\item Sia $a\in \mathbb{R}$ 
algebrico su $\mathbb{Q}$ di grado $4$ 
(cio\`e il polinomio minimo di $a$ su $\mathbb{Q}$ 
\`e di grado 4). Provare che $a^2+1$ \`e anche algebrico su $\mathbb{Q}$. 
Che grado pu\`o avere $a^2+1$ su $\mathbb{Q}$? (Dare un esempio per ogni 
possibile grado trovato).

\item Dire quanti fattori irriducibili ha il polinomio 
$x^{36} + 1 \in \mathbb{Z}_3[x]$.

\item Si consideri l'ideale $I = (x + 1, y^3 + 1) \subseteq 
\mathbb{Z}_3[x, y]$. Trovare tutti gli ideali massimali di 
$\mathbb{Z}_3[x, y]$ che contengono $I$.

\item Sia $A = \mathbb{Q} \times \mathbb{Z}_{5}$ l'anello prodotto. Trovare 
tutti gli elementi invertibili e tutti i divisori dello zero di $A$.

\end{enumerate}

\end{document}
