Algebra 2 Corso di laurea in Matematica

12 luglio 2011

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Siano K, L, M tre campi, tali che L è un’estensione di K e M è un’estensione di L. Sia poi a ∈ M algebrico su K e L ⊆ K[a]. Allora L : K è un’estensione algebrica di K? E, se sì, cosa si può dire del suo grado?

2. Provare che il campo ℤ_{3}[x]/(x^{2} + 1) è perfetto. Calcolare ^{3} \sqrt{[x + 1]}.

3. Per quali valori di a, b ∈ ℕ il polinomio:

f_{a,b}(x) = 2x^{a} + 3x^{b} + 1 ∈ ℤ_{5}[x]

è una potenza quinta?

4. Provare che il polinomio:

\frac{1}{3}x^{5} + ax^{4} + bx + 4 ∈ ℚ[x]

è irriducibile, per ogni a, b ∈ ℤ.