Algebra 2 Corso di laurea in Matematica Prova scritta

10 giugno 2014

Risolvere i seguenti esercizi. Le risposte vanno giustificate (possibilmente in modo sintetico …).

1. Siano K ed L campi, con L estensione di K. Sia a ∈ L algebrico su K e si supponga che il polinomio minimo di a su K sia di grado n. Che grado ha il polinomio minimo di 6·a (ricordare che 6·a indica a+a+a+a+a+a)?

2. Usando l’algoritmo di Berlekamp, calcolare la fattorizzazione in fattori irriducibili di x^{4} + 1 ∈ ℤ_{5}[x].

3. Sia I = (x^{4}, xy^{2}, y^{3}) ⊆ ℚ[x, y]. Trovare tutti gli ideali massimali M ⊆ ℚ[x, y] che contengono I.

4. Sia a un intero positivo che non è un quadrato. Provare che allora i polinomi x^{n} + ax + a sono irriducibili per ogni n ∈ ℕ \ {0}.