\documentclass[a4paper, 12pt]{article}

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\begin{document}
\begin{center}
Universit\`a degli studi di Trieste\\
Corso di Studi in Matematica\\
\bigskip
\huge \textbf{Algebra 2} (9 cfu)\\
\normalsize
\bigskip

docente: \textbf{prof. Alessandro Logar}\\
\medskip
anno accademico: 2010-2011
\end{center}

\section{Richiami/premesse}
Richiami su gruppi, anelli, campi; omomorfismi, teoremi di omomorfismo. 
Nucleo, immagine. Sottogruppi, sottogruppi normali, 
gruppi quoziente; ideali, anelli quoziente, ideali primi, 
ideali massimali. Elementi invertibili e divisori dello zero in un anello.
Domini di integrit\`a. L'anello degli interi, i suoi ideali e i suoi 
quozienti ($\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Z}_m$). Teorema cinese del resto 
in $\mathbb{Z}$.\\
Ideali in un anello: ideali 
generati da un insieme finito, ideali generati da un elemento. 
Caratteristica di un anello, ogni anello contiene (una copia isomorfa di)
$\mathbb{Z}$ o di $\mathbb{Z}_m$. La caratteristica di un dominio 
d'integrit\`a o \`e $0$ o \`e un numero primo. Piccolo teorema di 
Fermat. In un anello di caratteristica $p$ (con $p$ primo) vale: 
$(a+b)^p = a^p+b^p$.

\section{Polinomi in una indeterminata}
Costruzione dell'anello dei polinomi in una indeterminata (a 
coefficienti in un anello), grado di un polinomio. Termine/coefficiente
direttivo di un polinomio, termine noto, polinomio monico. Principio 
di identit\`a tra polinomi. L'anello
dei polinomi costruito su un dominio d'integrit\`a \`e, a sua volta,
un dominio d'integrit\`a. Un omomorfismo $\phi$ tra due anelli si estende
in unico modo in un omomorfismo $\psi :A[x] \longrightarrow B[x]$ 
tale che $\psi(x)=x$. Omomorfismo di valutazione 
($f(x) \mapsto f(a)$). Dato un omomorfismo di anelli 
$\phi:A \longrightarrow B$ e dato un elemento $b\in B$, 
esiste un unico omomorfismo $\psi : A[x] \longrightarrow B$ che estende 
$\phi$ e tale che $\psi(x)=b$. \\
Divisione tra polinomi. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo; 
polinomi riducibili e irriducibili, algoritmo 
della divisione. Teorema di Ruffini. Radici di un polinomio.
Teorema di D'Alambert (un polinomio di grado $n$ a coefficienti in un 
campo ha al massimo $n$ radici).  Se un campo \`e infinito allora
due polinomi $f$ e $g$ sono uguali se e solo se $f(a)=g(a)$ per ogni
elemento $a$ del campo. \\
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo di polinomi. 
Algoritmo di Euclide. L'identit\`a di Bezout. Definizione di 
polinomi associati. Due massimi comuni divisori di due polinomi sono 
tra loro associati. L'anello dei polinomi $K[x]$ ($K$ campo) \`e un dominio
ad ideali principali. 

\section{Fattorizzazione di polinomi, parte I}
Polinomi irriducibili in $K[x]$ ($K$ campo). L'anello dei polinomi \`e
un UFD (dominio a fattorizzazione unica).
Campi algebricamente chiusi. Teorema fondamentale del'algebra:
il campo $\mathbb{C}$ dei numeri complessi 
\`e algebricamente chiuso (breve cenno della dimostrazione), In $\mathbb{R}$
i polinomi irriducibili o sono di grado $1$, o sono di grado $2$ e hanno
il discriminante negativo. \\
Derivato di un polinomio. Se il derivato di un polinomio $f \in K[x]$ 
($K$ campo) vale $0$ allora o il polinomio \`e una costante o, se 
la caratteristica di $K$ \`e $p$, allora \`e della forma $g^p$, dove 
$g$ \`e un opportuno polinomio di $K[x]$. Se un polinomio $f$ di $K[x]$ ha
fattori multipli, allora il massimo comun divisore tra $f$ e il 
suo derivato \`e diverso da $1$. Vale anche il viceversa, purch\'e
il campo sia di caratteristica $0$ o sia finito. 
Definizione di campo perfetto. Isomorfismo di Frobenius. 
 
\section{Fattorizzazione di polinomi, parte II}
Polinomi di $\mathbb{Q}[x]$ e di $\mathbb{Z}[x]$. Definizione di polinomio 
primitivo di $\mathbb{Q}[x]$. Il prodotto di polinomi primitivi \`e 
primitivo. Lemma di Gauss. Fattorizzazione di polinomi in $\mathbb{Z}[x]$
e in $\mathbb{Q}[x]$. Ricerca delle radici razionali di un polinomio
in $\mathbb{Z}[x]$. Criterio di irriducibilit\`a di Eisenstein. In
$\mathbb{Q}[x]$ e in $\mathbb{Z}[x]$ ci sono infiniti polinomi irriducibili
in ogni grado. \\
Teorema cinese del resto in $\mathbb{Z}[x]$ (e in un anello qualunque). 
Fattorizzazione di polinomi in $\mathbb{Z}[x]$: il metodo di Schubert 
(Kronecker). La fattorizzazione di polinomi in $\mathbb{Z}_p[x]$: 
il metodo di Berlekamp (i 3 teoremi di Berlekamp). Fattorizzazione di polinomi
in $\mathbb{Z}[x]$ usando fattorizzazioni in $\mathbb{Z}_p[x]$. Cenno
al metodo di sollevamento di Hensel. 

\section{Polinomi in pi\`u variabili}
La costruzione dell'anello dei polinomi in pi\`u variabili, 
grado globale, grado relativo ad una variabile, definizione 
di monomi, termini. Principio di identit\`a tra polinomi.
Ogni polinomio \`e somma finita di monomi; polinomi omogenei, 
ogni polinomio \`e somma finita di polinomi omogenei. Se 
$A$ \`e un dominio, allora $A[x_1, \dots, x_n]$ \`e un dominio, 
se $A$ \`e un  dominio a fattorizzazione unica, allora lo 
\`e anche $A[x_1, \dots, x_n]$ (senza dimostrazione). 
Estensione di un omomorfismo $\phi: A \longrightarrow B$ ad 
un omomorfismo $\psi:A[x_1, \dots, x_n] \longrightarrow B$ tale che 
$\phi(x_i)=b_i$ (dove $b_1, \dots, b_n$ sono $n$ elementi fissati 
in $B$. \\
L'anello $K[x_1, \dots, x_n]$ (con $K$ campo) \`e uno spazio 
vettoriale su $K$ di dimensione infinita (una base \`e costituita 
dall'insieme dei termini). 

\section{Campi}
Costruzione del campo dei quozienti $Q(A)$ di un dominio $A$. 
Propriet\`a universale di $Q(A)$. \\
Estensione di campi: $K \subseteq L$ (denotata anche con $[L:K]$).
Il campo $K(b_1, \dots, b_n)$, cio\`e il pi\`u piccolo campo 
che contiene $K$ e gli elementi $b_1, \dots, b_n$ di $L$.
Vale: $K(b_1, \dots, b_n) = Q\left( K[b_1, \dots, b_n]\right)$ (dove 
$K[b_1, \dots, b_n]$ indica il pi\`u piccolo sottoanello di $L$ che 
contiene $K$ e $b_1, \dots, b_n$). Estensioni semplici. 
Elementi algebrici e trascendenti. Cenno alla tascendenza di $e$ e $\pi$ 
su $\mathbb{Q}$. Polinomio minimo di un elemento
algebrico. Se $[L:K]$ \`e un'estensione di campi e se $a \in L$ 
\`e algebrico su $K$, allora $K[a] = K[x]/(m)$, dove $m$ \`e
il polinomio minimo di $a$ su $K$. Grado di un'estensione di campi.
Legge della torre, legge della torre generalizzata. Dato un 
polinomio $f\in K[x]$ (con $K$ campo), esiste un ampliamento di 
$K$ che contiene uno zero di $f$. Campo di riducibilit\`a completa di
un polinomio. Il campo dei complessi $\mathbb{C}$ ottenuto come
il quoziente $\mathbb{R}/(x^2+1)$. \\
Costruzioni con riga e compasso. Teoremi di Wantzel: con riga e compasso 
non si pu\`o duplicare il cubo; l'angolo $\pi/3$ non pu\`o essere 
trisecato con riga e compasso. 

\section{Campi finiti}
Un campo finito (di caratteristica $p$) \`e uno spazio vettoriale 
su $\mathbb{Z}_p$, quindi la cardinalit\`a di un campo finito \`e 
sempre la potenza di un  numero primo. 
Teorema dell'elemento primitivo. Un campo finito \`e della forma: 
$\mathbb{Z}_p[x]/(q)$ con $q$ polinomio irriducibile.  
Polinomi irriducibili di $\mathbb{Z}_p[x]$. Il polinomio 
$x^{p^n} - x$ \`e il prodotto di tutti i polinomi irriducibili 
di $\mathbb{Z}_p[x]$ di grado $d$, con $d | n$. Funzione di 
Moebius. Calcolo del numero di polinomi irriducibili di 
$\mathbb{Z}_p[x]$. (formula di inversione di Moebius). Tutti i 
campi finiti dello stesso ordine sono isomorfi; dato $p$ numero primo 
ed $n$, numero naturale, esiste sempre un campo con $p^n$ elementi (e, 
per quanto detto, \`e unico). Tale campo si indica con $\mathrm{GF}(p, n)$
e si chiama campo di Galois. 


\section{Calcolo simbolico}
Cenno ad alcuni programmi di calcolo simbolico: Sage e Maple. Costruzione
di esempi con Maple e il suo linguaggio di programmazione di Maple.

\section*{Testi seguiti}

\begin{itemize}
\item Lindsay N. Childs, \textit{A concrete introduction to higer algebra}, 
Springer, I edizione (1990) e III edizione (2009);
\item Ian Stewart, \textit{Galois theory}, Chapman \& Hall/Crc Mathematics
(2004);
\item Nathan Jacobson, \textit{Basic Algebra}, San Francisco: W.H. Freeman 
(1974);
\item Israel N. Herstein, \textit{Algebra}, Roma, Editori Riuniti (1992).
\end{itemize}
\end{document}
