\documentclass{article}
\usepackage{amssymb}


\begin{document}
Dire per quali valori di $x\in \mathbb{N}$ $(x^2+3x+5)/23$ \`e un 
numero intero.

Sol.: Se $a$ \`e una soluzione, allora $a+23k$ \`e anche una soluzione.
Pertanto basta trovare le soluzioni tra $1$ e $23$. Basta risolvere
$x^2+3x+5 \cong 0 mod 23$. Quindi basta fattorizzare il polinomio 
in $\mathbb{Z}_{23}$ (e si trova $x^2+3x+5 = (x+20)(x+6)$).

Variante: dimostrare che il polinomio $x^2+3x+5$ non \`e mai divisibile
per $7$ (se $x \in \mathbb{N}$.

Per quali $n \in \mathbb{N}$ vale $(n^2+20n-29)/2010 \in \mathbb{N}$?

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Dire per quali valori di $n\in \mathbb{N}$ il polinomio 
\[
x^n+x+1 \in \mathbb{Z}_2[x]
\]
\`e irriducibile. 

Possibile soluzione con Berlekamp, ma bisonga pensarci...


Esempio interessante: 
sia $a=\sqrt{3+2\sqrt{2}}$. Il polinomio minimo di $a$ \`e
$x^2-2x-7$ perch\'e $a = (1+2\sqrt{2})^2$. Inoltre se
cerco il candidato ad essere polinomio minimo di $a$ trovo:
$x^4-6x^2+1$, questo si fattorizza in 2 pol di II grado.
Se pero' cerco di fattorizzarlo pensandolo come polinomio 
biquadratico ottengo:
\[
(x^2-3-2\sqrt{2])(x^2-3+2\sqrt{2})
\]
Per trovare la fattorizzazione ``giusta'' scritta sopra
devo fattorizzare $(x^2-3-2\sqrt{2])$ come $x^2 - (1+2\sqrt{2})^2$
\end{document}
