Dire per quali valori di x ∈ ℕ (x^{2} + 3x + 5)/23 è un numero intero. Sol.: Se a è una soluzione, allora a + 23k è anche una soluzione. Pertanto

basta trovare le soluzioni tra 1 e 23. Basta risolvere x^{2}+3x+5 ≅ 0mod23. Quindi basta fattorizzare il polinomio in ℤ_{23} (e si trova x^{2} + 3x + 5 = (x + 20)(x + 6)).

Variante: dimostrare che il polinomio x^{2} + 3x + 5 non è mai divisibile per 7 (se x ∈ ℕ.

Per quali n ∈ ℕ vale (n^{2} + 20n − 29)/2010 ∈ ℕ?

Dire per quali valori di n ∈ ℕ il polinomio

x^{n} + x + 1 ∈ ℤ_{2}[x]

è irriducibile. Possibile soluzione con Berlekamp, ma bisonga pensarci...