\documentclass[a4paper]{article}

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\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center}
\large
\textbf{Esercizi autogestiti}
\end{center}

\normalsize

\begin{enumerate}
\item Se $I$ e $J$ sono due ideali di un anello $A$, con $I+J$ si indica
il pi\`u piccolo ideale di $A$ che contiene $I$ e $J$. Provare che 
\[
I+J = \{ a+b \mid a\in I, \ b\in J\}.
\]

\item Ricordare che un ideale $I$ di un anello $A$ si dice \textsl{finitamente 
generato}, se esiste un numero finito di elementi $a_1, \dots, a_r \in I$
tali che $I=(a_1, \dots, a_r)$, cio\`e se ogni elemento di $I$ \`e 
della forma $a_1f_1+\cdots+a_rf_r$, con $f_1, \dots, f_r \in A$. 
Provare che se $I$ e $J$ sono due ideali 
finitamente generati di $A$, allora $I+J$ \`e finitamente generato.

\item Sia $K$ un campo e $I$ un ideale di $K[x]$, sia poi $J$ l'ideale 
di $K[x,y]$ generato da $I$ (cio\`e $J$ \`e il pi\`u piccolo ideale di 
$K[x,y]$ che contiene $I$). Provare che:
\[
K[x,y]/J \cong \left(K[x]/I \right)[y]
\]

\item Sia $I=(x^2,xy,y^2) \subseteq K[x,y]$ ($K$ un campo). 
\begin{itemize}
  \item Trovare tutti i polinomi omogenei di grado 2 che stanno in $I$
  \item Trovare tutti i polinomi omogenei di grado 3 che stanno in $I$
  \item Calcolare una base di $K[x,y]/I$ come $K$-spazio vettoriale.
\end{itemize}

\item Provare che $\mathbb{Q}[x,y]/(x^2+x+1, y)$ \`e un campo (ed \`e 
isomorfo a $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}\,]$).

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
Suggerimenti/Soluzioni
\end{center}
\vskip 2cm
\begin{enumerate}
\item Dovrebbe essere una semplice verifica
\vskip 2cm
\item Se $I=(a_1, \dots, a_r)$ e $J= (b_1, \dots, b_s)$, allora 
verificare che $I+J = (a_1, \dots, a_r,b_1, \dots, b_s)$.
\vskip 2cm
\item Sia $R=K[x]/I$. $R$ \`e un anello che conitene $K$.
Sia $\phi : K[x, y] \longrightarrow R[y]$
definita da: $\phi(x) = [x] \in R$, $\phi(y) = y$, $\phi(a) = a$ per 
ogni $a\in K$. Calcolare il $\ker(\phi)$ e usare il teorema di omomorfismo.
\vskip 2cm
\begin{itemize}
\item I polinomi omogenei di grado 2 che stanno in $I$ sono tutti i polinomi
omogenei di grado 2 (che infatti sono una comb.\ lin.\ di $x^2,\ xy,\ y^2$.
\item In $I$ stanno i monomi: $x^3=x\cdot x^2$, 
$x^2y = y\cdot x^2 (= x \cdot xy)$, $xy^2 = y \cdot xy$, $y^3=y\cdot y^2$.
Pertanto i polinomi omogenei di grado 3 che stanno in $I$ sono tutti i 
polimomi omogenei di grado 3.
\item Analogamente si vede che in $I$ stanno tutti i polimoni omogenei 
di grado $\geq 2$. Pertanto nel quoziente $K[x,y]/I$ sono non nulli i 
soli monomi $[1], [x], [y]$. Da qui segue che $\dim_K(K[x,y]/I=3$
\end{itemize}
\vskip 2cm
\item Si usa il doppio quoziente: 
\[
\mathbb{Q}[x, y]/(x^2+x+1,y) \cong 
\frac{Q[x,y]/(x^2+x+1)}{(x^2+x+1,y)/(x^2+x+1)}
\]
\end{enumerate}
\end{document}
