Esercizi autogestiti

1. Se I e J sono due ideali di un anello A, con I + J si indica il più piccolo ideale di A che contiene I e J. Provare che

I + J = {a + b | a ∈ I, b ∈ J}.

2. Ricordare che un ideale I di un anello A si dice finitamente generato, se esiste un numero finito di elementi a_{1}, …, a_{r} ∈ I tali che I = (a_{1}, …, a_{r}), cioè se ogni elemento di I è della forma a_{1}f_{1}+⋯+a_{r}f_{r}, con f_{1}, …, f_{r} ∈ A. Provare che se I e J sono due ideali finitamente generati di A, allora I +J è finitamente generato.

3. Sia K un campo e I un ideale di K[x], sia poi J l’ideale di K[x, y] generato da I (cioè J è il più piccolo ideale di K[x, y] che contiene I). Provare che:

K[x, y]/J ≅ (K[x]/I) [y]

4. Sia I = (x^{2}, xy, y^{2}) ⊆ K[x, y] (K un campo).

• Trovare tutti i polinomi omogenei di grado 2 che stanno in I

• Trovare tutti i polinomi omogenei di grado 3 che stanno in I

• Calcolare una base di K[x, y]/I come K-spazio vettoriale.

5. Provare che ℚ[x, y]/(x^{2} + x + 1, y) è un campo (ed è isomorfo a ℚ[\sqrt{−3} ]).

Suggerimenti/Soluzioni

1. Dovrebbe essere una semplice verifica

2. Se I = (a_{1}, …, a_{r}) e J = (b_{1}, …, b_{s}), allora verificare che I + J = (a_{1}, …, a_{r}, b_{1}, …, b_{s}).

3. Sia R = K[x]/I. R è un anello che conitene K. Sia ϕ : K[x, y] ⟶ R[y] definita da: ϕ(x) = [x] ∈ R, ϕ(y) = y, ϕ(a) = a per ogni a ∈ K. Calcolare il ker(ϕ) e usare il teorema di omomorfismo.

• I polinomi omogenei di grado 2 che stanno in I sono tutti i polinomi omogenei di grado 2 (che infatti sono una comb. lin. di x^{2}, xy, y^{2}.

• In I stanno i monomi: x^{3} = x·x^{2}, x^{2}y = y ·x^{2}(= x·xy), xy^{2} = y ·xy, y^{3} = y · y^{2}. Pertanto i polinomi omogenei di grado 3 che stanno in I sono tutti i polimomi omogenei di grado 3.

• Analogamente si vede che in I stanno tutti i polimoni omogenei di grado ≥ 2. Pertanto nel quoziente K[x, y]/I sono non nulli i soli monomi [1], [x], [y]. Da qui segue che dim_{K}(K[x, y]/I = 3

4. Si usa il doppio quoziente:

ℚ[x, y]/(x^{2} + x + 1, y) ≅ \frac{Q[x, y]/(x^{2} + x + 1)}{(x^{2} + x + 1, y)/(x^{2} + x + 1)}