\documentclass[a4paper]{article}

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\begin{document}

\begin{center}
Corso di Studi in Matematica\\
Corso di \textbf{Algebra 2}\\
\textbf{Esercizi - VI}
\end{center}
\begin{flushright}
23 dicembre 2009
\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item Sia $K \subseteq L \subseteq M$ un'estensione di campi. Provare che
se $a\in M$ \`e algebrico su $K$, allora $a$ \`e anche algebrico su $L$. 
\item Trovare un campo di spezzamento del polinomio $x^2+3 \in \mathbb{Q}[x]$.
\item Provare che $\mathbb{C} = \mathbb{R}[\sqrt{-3}]$.
\item Provare che, dato un quadrato di lato $5$, si pu\`o, costruire con 
riga e compasso, un triangolo rettangolo con base $5$ che sia 
equivalente al quadrato; provare poi che non si pu\`o invece costruire 
un triangolo rettangolo equivalente al quadrato ma con base $\sqrt[3]{5}$.
\item Sia $K \subseteq L$ un'estensione di campi. Provare che se 
$a\in L$ \`e algebrico su $K$, allora $a^2$ \`e algebrico su $K$.
\item Sia $K \subseteq L$ un'estensione di campi. Provare che se 
$[L:K]=n$, allora 
ogni elemento $a$ di $L$ \`e zero di un polinomio di grado al massimo $n$. 
(Suggerimento: considerare gli elementi $1, a, a^2, \dots, a^n$)
\item Provare che un elemento $a\in \mathbb{C}$ \`e algebrico su $\mathbb{Q}$
se e solo se $\sqrt{a}$ \`e algebrico su $\mathbb{Q}$. 
\item Provare che $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1)$ \`e un campo, dire quanti elementi
ha e trovare tutti i suoi elementi primitivi.
\item Stabilire quanti sono i polimomi monici di $\mathbb{Z}_5[x]$, di 
grado 6, la cui scomposizione in fattori irriducibili \`e della forma:
$q_1q_2$, dove $q_1$ \`e un polinomio lineare. 
\item Provare che l'anello quoziente $K = \mathbb{Z}_2[x]/(x^2+x+1)$ 
\`e un campo e dire chi sono tutti gli elementi primitivi di $K$. Scrivere
poi, per ogni elemento $a\in K\setminus \{0\}$, il suo polinomio minimo $f_a$
su $\mathbb{Z}_2$.
\end{enumerate}

\end{document}