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\begin{document}

\begin{center}
Corso di Studi in Matematica\\
Corso di \textbf{Algebra 2}\\
\textbf{Esercizi - V}
\end{center}
\begin{flushright}
26 novembre 2009
\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item Sia $A$ un anello commutativo unitario e si supponga che $A$ abbia 
due soli ideali: $(0)$ e $(1)$. Provare che allora $A$ \`e un campo.
\item Nel campo $\mathbb{R}$ si considerino i sottocampi 
\[K_1 = \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}, \sqrt{6}\right) \quad \mbox{e} \quad 
K_2 = \mathbb{Q}\left(1+\sqrt{2}, \sqrt{3}\right)
\]
Provare che $K_1=K_2$. 
\item Provare che $\sqrt{6}-1 \in \mathbb{R}$ \`e algebrico su 
$\mathbb{Q}$ e calcolare il suo polinomio minimo. 
\item Provare che $\sqrt{6}+3\sqrt{3} \in \mathbb{R}$ \`e algebrico 
su $\mathbb{Q}$. 
\item Siano $K \subseteq L$ campi. Provare che se $a\in L$ \`e algebrico 
su un campo $K$, allora $a+1$ \`e algebrico su $K$. Se il polinomio minimo
di $a$ ha grado $n$, che grado ha il polinomio minimo di $a+1$?
\item Trovare un numero reale $a$ che sia algebrico su $\mathbb{Q}$ il 
cui polinomio minimo ha grado 3, un altro numero reale il cui polinomio 
minimo ha grado 4, un altro il cui polinomio minimo ha grado 5 ecc.\
Far vedere in generale che esistono elementi di $\mathbb{R}$ il cui 
polinomio minimo ha grado $n$ per ogni $n$.  
\item Siano $K \subseteq L$ campi, sia $a\in L$ e sia $g\in K[x]$ un polinomio
non nullo, monico, irriducibile, tale che $g(a)=0$: Provare allora che 
$g$ \`e il polinomio minimo di $a$ su $K$. 
\item Siano $K \subseteq L$ campi. Provare che se $a$ e $b$ sono elementi
di $L$ algebrici su $K$, allora $K[a, b]=K(a,b)$.
\item Trovare il polinomio minimo di $\sqrt{6}$ su 
$\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right]$. 
\item Trovare il polinomio minimo di $\sqrt{15}$ su 
$\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\right)$.
\end{enumerate}

\end{document}