\documentclass{article}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{Algebra 2}\\
Esercizi riassuntivi/4
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
Sia $K$ un campo di caratteristica 0. Sia $f\in K[x]$ e si supponga che 
$f=q_1^{\alpha_1} q_2^{\alpha_2}$  
sia la scomposizione di $f$ in fattori irriducibili ($\alpha_i \geq 1$, 
$q_1$ e $q_2$ distinti). 
Calcolare $\mbox{mcd}\, (f, D(f))$. \\
Generalizzare il risultato trovato al caso in cui $f$ si decomponga
in $q_1^{\alpha_1} \cdots q_r^{\alpha_r}$.
Se $K$ non ha caratteristica 0, cosa pu\`o succedere?

\item Provare che in $Q[x]$ ci sono infiniti polinomi irriducibili
monici, di grado 3 e la cui derivata \`e un polinomio riducibile.

\item Siano $f, g \in \mathbb{Q}[x]$ primi tra loro. Provare che
$\mathbb{Q}[x]/(fg)$ \`e isomorfo, come anello, all'anello prodotto
$\mathbb{Q}[x]/(f)\times \mathbb{Q}[x]/(g)$. 

\item Usando il metodo di fattorizzazione di Berlekamp, trovare i 
fattori irriducibili di $x^5+1 \in \mathbb{Z}_3[x]$. 

\item Sia $h\in \mathbb{Z}_p[x]$ (con $p$ numero primo). Calcolare 
\[
\Product a
\]
\end{enumerate}

\end{document}
