Algebra 2 Esercizi riassuntivi/3

1. Sia K un campo algebricamente chiuso. Provare che K ha infiniti elementi.

2. Sia X un insieme qualunque e sia A = { f | f : X ⟶ ℤ_{3}} (cioè A è l’insieme di tutte le applicazioni da X in ℤ_{3}). Su A si definisca una somma e un prodotto al solito modo, cioè, se f, g ∈ A, allora f + g è quell’applicazione tale che (f + g)(x) = f(x) + g(x) per ogni x ∈ X e analogamente f · g. In questo modo A diventa un anello (saltare pure al verifica). Trovare la caratteristica di A. Supponiamo poi che X sia fatto da due soli elementi. Provare che A e ℤ_{3} × ℤ_{3} sono isomorfi come anelli.

3. Sia f = x^{15} + 3x^{10} + 1 ∈ ℤ_{5}[x]. Scrivere f come prodotto di polinomi irriducibili.

4. Sia K un campo perfetto di caratteristica p e f ∈ K[x]. Supponiamo che D^{2}(f) = 0 (dove D^{2}(f) = D(D(f)) e D è l’operazione di derivazione). Come è fatto il polinomio f?

5. Sia K = ℤ_{3}[x]/(x^{2} + 1). Provare che K è un campo; trovare la sua caratteristica; dire se K è anche perfetto.

6. Siano K_{1} e K_{2} due campi e sia ϕ : K_{1} ⟶ K_{2} un omomorfismo (di anelli). Se K_{1} ha caratteristica p, quanto vale la caratteristica di K_{2}? E se K_{2} ha caratteristica p, cosa si può dire della caratteristica di K_{1}?