Algebra 2 Esercizi riassuntivi/1

1. Siano A, B due anelli commutativi, unitari. Sull’insieme A × B si definiscano somma e prodotto “per componenti”, cioè:

(a, b) + (c, d) =^{def} (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) =^{def} (a · c, b · d)

Provare che (A × B, +, ·) è un anello commutativo unitario.

2. Sia A = {f : [0, 1] ⟶ ℝ}. Dati f, g ∈ A si definisca f + g con la legge: (f + g)(x) = f(x) + g(x) e analogamente si definisca f · g. Provare che (A, +, ·) è un anello commutativo unitario.

3. Sia A = {f : [0, 1] ⟶ ℝ | con f(x) = 0 per quasi ogni x ∈ [0, 1]} (dove, “per quasi ogni… ” significa “per tutti, tranne per un numero finito … ”. Dati f, g ∈ A, si definisca f + g e f · g come nell’esercizio 2. (A, +, ·) è un anello commutativo unitario?

4. Provare che se I ⊆ A è un ideale dell’anello A, allora il prodotto [a] · [b] = [a · b] è ben definito in A/I.

5. Siano a, b ∈ ℤ. Provare che vale:

(a, b) = (mcd (a, b))

(dove (a, b) indica l’ideale generato da a e b).

6. Sia A definito come nell’esercizio 2. Dire chi sono gli elementi invertibili (unitari) di A. Dire chi sono i divisori dello zero di A.

7. Sia C l’anello “prodotto”, definito nell’esercizio 1. Si assuma inoltre che A e B siano domini di integrità. Trovare tutti i divisori dello zero di C.

8. Siano I, J due ideali di un anello A. Sia X = I ∪ J. Provare che vale:

(X) = {a + b | a ∈ I, b ∈ J}

(dove, al solito, (X) indica l’ideale generato da X). In questo caso l’ideale (X) si indica con I + J e si dice ideale somma di I e J.

9. Trovare un esempio che dimostri che I + J non coincide con I ∪ J.

10. Sia A un anello e (I_{k})_{k∈ℕ} una famiglia di ideali di A tale che I_{k} ⊆ I_{k+1}.

Provare che allora

⋃_{k∈ℕ} I_{k}

è un ideale di A.