\documentclass{article}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{Algebra 2}\\
Esercizi riassuntivi/4
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Trovare il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ dei seguenti 
elementi di $\mathbb{R}$:
\[
\sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{3+2\sqrt{2}}
\]
\item Si consideri un'estensione $L:K$ di campi. Siano $a, b \in L$ 
algebrici su $K$. Provare che allora $a+b$, $ab$ e $a^{-1}$ (se $a \not=0$)
sono algebrici su $K$. Dedurre che l'insieme 
$A = \{a \in L \mid \hbox{$a$ algebrico su $K$}  \}$
\`e un campo che contiene $K$. 

\item Sia $K= \mathbb{Z}_5$ e $L = \mathbb{Z}_5[t]/(t^2+3)$. Provare che 
$L$ \`e un campo. Sia poi $a= [t+2] \in L$. Provare che $a$ \`e
algebrico su $K$. 

\item Provare che l'ideale $(x+y+z+1, y+3z, z-4) \subseteq \mathbb{Q}[x, y, z]$
\`e un ideale massimale di $Q[x, y, z]$.

\item Sia $I = (x^3, x^2y, y^4) \subseteq \mathbb{Q}[x, y, z]$. Descrivere
tutti gli ideali primi $P\subseteq \mathbb{Q}[x, y, z]$ che contengono 
$I$.  

\item Provare che in $\mathbb{Q}[x]$ ci sono infiniti polinomi 
irriducibili monici, di grado 3 e la cui derivata \`e un polinomio 
riducibile e ci sono anche infiniti polinomi
monici irriducibili, di grado 3, la cui derivata \`e irriducibile.

\item Provare che l'ideale $I = (x, y^2 - 2)$ \`e un ideale massimale di 
$\mathbb{Q}[x, y]$ e provare che invece $I$ non \`e massimale in 
$\mathbb{R}[x, y]$. Trovare infine tutti gli
ideali massimali $\mathcal{M} \subseteq \mathbb{R}[x, y]$ tali che 
$I \subseteq \mathcal{M}$.

\end{enumerate}

\end{document}
