Algebra 2 Esercizi riassuntivi/4

1. Trovare il polinomio minimo su ℚ dei seguenti elementi di ℝ:

\sqrt{2 + \sqrt{2}}, \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}

2. Si consideri un’estensione L : K di campi. Siano a, b ∈ L algebrici su K. Provare che allora a + b, ab e a^{−1} (se a ≠ 0) sono algebrici su K. Dedurre che l’insieme A = {a ∈ L | a algebrico su K} è un campo che contiene K.

3. Sia K = ℤ_{5} e L = ℤ_{5}[t]/(t^{2} + 3). Provare che L è un campo. Sia poi a = [t + 2] ∈ L. Provare che a è algebrico su K.

4. Provare che l’ideale (x + y + z + 1, y + 3z, z − 4) ⊆ ℚ[x, y, z] è un ideale massimale di Q[x, y, z].

5. Sia I = (x^{3}, x^{2}y, y^{4}) ⊆ ℚ[x, y, z]. Descrivere tutti gli ideali primi P ⊆ ℚ[x, y, z] che contengono I.

6. Provare che in ℚ[x] ci sono infiniti polinomi irriducibili monici, di grado 3 e la cui derivata è un polinomio riducibile e ci sono anche infiniti polinomi monici irriducibili, di grado 3, la cui derivata è irriducibile.

7. Provare che l’ideale I = (x, y^{2} − 2) è un ideale massimale di ℚ[x, y] e provare che invece I non è massimale in ℝ[x, y]. Trovare infine tutti gli ideali massimali M ⊆ ℝ[x, y] tali che I ⊆ M.