\documentclass{article}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{Algebra 2}\\
Esercizi riassuntivi/4
\end{center}

\begin{enumerate}
\item In $\mathbb{Z}_7[x]$ si consideri il polinomio
\[
f = ax^{12}+(a+b+1)x^9+(a+b^2)x^7+3x+2a+b, \quad \mbox{dove $a, b \in 
\mathbb{Z}_7$}
\]
Per quali valori di $a$ e di $b$ esiste un polinomio $g \in \mathbb{Z}_7[x]$
tale che $f = g^7$?
\item 
Sia $K$ un campo di caratteristica 0. Sia $f\in K[x]$ e si supponga che 
$f=q_1^{\alpha_1} q_2^{\alpha_2}$  
sia la decomposizione di $f$ in fattori irriducibili ($\alpha_i \geq 1$, 
$q_1$ e $q_2$ distinti). 
Calcolare $\mbox{mcd}\, (f, D(f))$. \\
Generalizzare il risultato trovato al caso in cui il polinomio 
$f$ si decompone
in $q_1^{\alpha_1} \cdots q_r^{\alpha_r}$.
Se $K$ non ha caratteristica 0, cosa pu\`o succedere?

\item Provare che in $\mathbb{Q}[x]$ ci sono infiniti polinomi irriducibili
monici, di grado 3 e la cui derivata \`e un polinomio riducibile e ci sono
anche infiniti polinomi monici irriducibili, di grado 3, la cui derivata 
\`e irriducibile.

\item Siano $f, g \in \mathbb{Q}[x]$ primi tra loro. Provare che
$\mathbb{Q}[x]/(fg)$ \`e isomorfo, come anello, all'anello prodotto
$\mathbb{Q}[x]/(f)\times \mathbb{Q}[x]/(g)$. 

\item Usando il metodo di fattorizzazione di Berlekamp, trovare i 
fattori irriducibili di $x^5+1 \in \mathbb{Z}_3[x]$. 

\item Sia $h\in \mathbb{Z}_p[x]$ (con $p$ numero primo). Calcolare 
\[
\prod_{i\in \mathbb{Z_p}} (h+qi)
\]
(dove $q$ \`e un numero primo con $p$).
\item Provare che l'ideale $I = (x, y+1, z^2-2)$ \`e un ideale massimale di
$\mathbb{Q}[x, y, z]$. Provare che invece $I$ 
non \`e massimale in $\mathbb{R}[x, y, z]$. 
Trovare infine tutti gli ideali massimali 
$\mathcal{M}\subseteq \mathbb{R}[x, y, z]$
tali che $ I \subseteq \mathcal{M}$. 
\end{enumerate}

\end{document}
