Algebra 2 Esercizi riassuntivi/4

1. In ℤ_{7}[x] si consideri il polinomio

f = ax^{12} + (a + b + 1)x^{9} + (a + b^{2})x^{7} + 3x + 2a + b, dove a, b ∈ ℤ_{7}

Per quali valori di a e di b esiste un polinomio g ∈ ℤ_{7}[x] tale che f = g^{7}?

2. Sia K un campo di caratteristica 0. Sia f ∈ K[x] e si supponga che f = q_{1}^{α_{1}}q_{2}^{α_{2}} sia la decomposizione di f in fattori irriducibili (α_{i} ≥ 1, q_{1} e q_{2} distinti). Calcolare mcd (f, D(f)). Generalizzare il risultato trovato al caso in cui il polinomio f si decompone in q_{1}^{α_{1}} ⋯ q_{r}^{α_{r}}. Se K non ha caratteristica 0, cosa può succedere?

3. Provare che in ℚ[x] ci sono infiniti polinomi irriducibili monici, di grado 3 e la cui derivata è un polinomio riducibile e ci sono anche infiniti polinomi monici irriducibili, di grado 3, la cui derivata è irriducibile.

4. Siano f, g ∈ ℚ[x] primi tra loro. Provare che ℚ[x]/(fg) è isomorfo, come anello, all’anello prodotto ℚ[x]/(f) × ℚ[x]/(g).

5. Usando il metodo di fattorizzazione di Berlekamp, trovare i fattori irriducibili di x^{5} + 1 ∈ ℤ_{3}[x].

6. Sia h ∈ ℤ_{p}[x] (con p numero primo). Calcolare

∏_{i∈ℤ_{∣}}(h + qi)

(dove q è un numero primo con p).

7. Provare che l’ideale I = (x, y+1, z^{2}−2) è un ideale massimale di ℚ[x, y, z]. Provare che invece I non è massimale in ℝ[x, y, z]. Trovare infine tutti gli ideali massimali M ⊆ ℝ[x, y, z] tali che I ⊆ M.