Algebra 2 Esercizi riassuntivi/2

1. Sia A un anello (commutativo, unitario), A[x] l’anello dei polinomi in x a coefficienti in A e F : A[x] ⟶ A[x] data da F (a) = a per ogni a ∈ A, F (x) = x + 1 (e poi estesa nell’unico modo possibile che la rende omomorfismo di anelli). Provare che F è un automorfismo di A[x].

2. Siano A, B anelli (commutativi, unitari), ϕ : A ⟶ B un omomorfismo di anelli e Φ : A[x] ⟶ B[x] ottenuta da Φ(a) = ϕ(a) per ogni a ∈ A e Φ(x) = x. Provare:

• se ϕ è iniettiva, allora Φ è iniettiva;

• se ϕ è suriettiva, allora Φ è suriettiva;

• Φ è un isomorfismo se e solo se ϕ è un isomorfismo.

3. Sia A un anello (commutativo, unitario) e I ⊆ A un ideale di A. Sia poi J l’ideale generato da I nell’anello A[x]. Provare che vale:

J = {a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n} | n ∈ ℕ, a_{i} ∈ I}

(cioè J risulta l’insieme di tutti i polinomi di A[x] a coefficienti in I). L’ideale J si indica solitamente con I[x].

4. Siano A, B anelli (commutativi, unitari), ϕ : A ⟶ B un omomorfismo di anelli e Φ : A[x] ⟶ B[x] ottenuta da Φ(a) = ϕ(a) per ogni a ∈ A e Φ(x) = x. Provare che ker(Φ) = ker(ϕ)[x] (usando la notazione introdotta nell’esercizio 3).

5. Sia A un anello (commutativo, unitario) e I ⊆ A un ideale di A. Provare

che vale:

\frac{A[x]}{I[x]} ≅ \frac{A}{I}[x]

6* Provare che l’ideale I = (2, x) ⊆ ℤ[x] non è un ideale principale (cioè non è della forma (f), con f ∈ ℤ[x]).